極坐標(biāo)的積分怎么計(jì)算 極坐標(biāo)定積分上下限怎么求

使用極坐標(biāo)簡化定積分計(jì)算，極坐標(biāo)的定積分如何求？極坐標(biāo)系求定積分問題，求詳解，極坐標(biāo)方程求其圍成的面積用定積分怎么表示，例如ρ＝aθ？這個(gè)極坐標(biāo)積分是怎么算出來的？極坐標(biāo)積分是什么？

本文導(dǎo)航

• 極坐標(biāo)定積分上下限怎么求
• 極坐標(biāo)積分求面積的步驟
• 高數(shù)極坐標(biāo)系求積分
• 極坐標(biāo)求積分怎么算
• 極坐標(biāo)和三重積分的轉(zhuǎn)化公式
• 極坐標(biāo)幾何意義

極坐標(biāo)定積分上下限怎么求

將x=rcosθ，y=rsinθ替換x，y

然后再添加rdrdθ。就是替換后的表達(dá)式，即：

∫∫f(x，y)dxdy=∫∫f(rsinθ，rsinθ)rdrdθ

然后是積分區(qū)域的替換，畫出直角坐標(biāo)的形式，利用邊界，

對應(yīng)找出r，θ的范圍。和x，y的表示一樣，第一層必須是不含變量的！

極坐標(biāo)積分求面積的步驟

關(guān)鍵是如何寫出極坐標(biāo)（以及柱坐標(biāo)）的定積分的算式，記住每個(gè)情況的

雅科比，有了算式，計(jì)算與直角坐標(biāo)系完全相同。

高數(shù)極坐標(biāo)系求積分

如圖

極坐標(biāo)求積分怎么算

(x-a)2+y2=a2x2+y2=2ax

定積分應(yīng)用面積根據(jù)極坐標(biāo)系下r>=0解出θ范圍即為積分區(qū)間，然后代入極坐標(biāo)面積微元公式進(jìn)行定積分即可。

面積為πa^2。

求解如下：

因?yàn)棣?2acosθ，所以cosθ=ρ/2a>=0

所以θ的取值范圍是（-π/2,π/2)

則圍成的面積為：

S=∫1/2*ρ^2dθ=∫2a^2cosθdθ=a^2∫(1+cos2θ)dθ=a^2+1/2a^2sin2θ

因?yàn)榉e分范圍是（-π/2,π/2），所以有：

S=a^2+1/2a^2sin2θ

=a^2*[(0+π/2)-(0-π/2)]

=πa^2

所以曲線ρ=2acosθ所圍成圖形的面積為πa^2。

擴(kuò)展資料：

坐標(biāo)表示按逆時(shí)針方向坐標(biāo)距離0°射線（有時(shí)也稱作極軸）的角度，極軸就是在平面直角坐標(biāo)系中的x軸正方向。

比如，極坐標(biāo)中的（3, 60°）表示了一個(gè)距離極點(diǎn)3個(gè)單位長度、和極軸夾角為60°的點(diǎn)。（?3, 240°）和(3, 60°)表示了同一點(diǎn)，因?yàn)樵擖c(diǎn)的半徑為在夾角射線反向延長線上距離極點(diǎn)3個(gè)單位長度的地方（240° ? 180° = 60°）。

參考資料來源：百度百科-極坐標(biāo)方程

極坐標(biāo)和三重積分的轉(zhuǎn)化公式

作代換：ρ = 2a sinφ

dρ = 2a cosφ

原積分 = ∫ [-pi/4, 0] dθ ∫ [0, -θ] 4a^2 sin^2φ dφ

= ∫ [-pi/4, 0] dθ ∫ [0, -θ] 4a^2 (1/2)(1-cos2φ) dφ

= ∫ [-pi/4, 0] a^2(2φ-sin2φ)| [0, -θ] dθ

= ∫ [-pi/4, 0] a^2(-2θ+sin2θ) dθ

= a^2 [-θ^2 - (1/2)cos2θ] | [-pi/4, 0]

= a^2 [pi^2/16 - 1/2]

極坐標(biāo)幾何意義

極坐標(biāo)系里的二重積分r是指極坐標(biāo)的極徑，表示平面坐標(biāo)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。

在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分，需將被積函數(shù)f（x，y），積分區(qū)域D以及面積元素dσ都用極坐標(biāo)表示。函數(shù)f（x，y）的極坐標(biāo)形式為f（rcosθ，rsinθ）。

二重積分注意：

如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)a的任一鄰域內(nèi)都無界，那么點(diǎn)a稱為函數(shù)f(x)的瑕點(diǎn)（無界間斷點(diǎn)）。無界函數(shù)的反常積分也稱作瑕積分。與定積分的聯(lián)系：在計(jì)算定積分時(shí)，需要注意在積分區(qū)間內(nèi)是否存在瑕點(diǎn)。若存在，拆分區(qū)間段。