怎么解極坐標(biāo)二重積分 極坐標(biāo)下的二重積分怎么解？

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本文導(dǎo)航

• 極坐標(biāo)下的二重積分怎么解？
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• 利用極坐標(biāo)求二重積分
• 二重積分極坐標(biāo)求解
• 二重積分 極坐標(biāo)方法求解
• 二重積分的極坐標(biāo)表達(dá)式求解

極坐標(biāo)下的二重積分怎么解？

　　不是很明白你的意思。大概是這樣的。

　　你的錯誤在定積分∫f(x)dx=g(x)，對于一個定積分，積分的結(jié)果肯定是與積分變量無關(guān)的。你的解答過程中卻不是。你應(yīng)該是這兒的問題。

　　如你的例題∫(x^2+y)dy=x^2*y+y^2/2, x^2≤y≤√x的定積分是x/2+x^(5/2)-(x^4+x^4/2)

　　再是積分∫x/2+x^(5/2)-(x^4+x^4/2)dx=1/4+2/7-(1/5*3/2)=33/140

　　也不知道算對了沒有，方法是這樣

這個極坐標(biāo)二重積分怎么解？

考研題？為什么會有這么簡單的考研題？

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1、本題的二重積分，可以變成兩個積分的乘積；

2、只要把括號打開后，稍作化簡即可積分；

3、具體解答如下，如有疑問或質(zhì)疑，歡迎提出；

; ;有問必答、有疑必釋、有錯必糾。

4、若點擊放大，圖片更加清晰。

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利用極坐標(biāo)求二重積分

x = a，rcost = a， r = asect; y = a, rsint = a, r = acsct.

I = ∫<0, π/4> dt ∫<0, asect> r rdr + ∫<π/4, π/2> dt ∫<0, acsct> r rdr

= (a^3/3)∫<0, π/4> (sect)^3dt + (a^3/3)∫<π/4, π/2> (csct)^3dt .

∫(sect)^3dt = ∫sectdtant = sect tant - ∫sect(tant)^2dt

= sect tant - ∫[sect(sect)^2-1]dt

= sect tant - ∫(sect)^3dt + ln|sect+tant|

得 ∫(sect)^3dt = (1/2)[sect tant + ln|sect+tant|] ;

∫(csct)^3dt = -∫csctdcott = -csct cott - ∫csct(cott)^2dt

= -csct cott - ∫csct[(csct)^2-1]dt

= -csct cott - ∫(csct)^3dt + ln|csct-cott|

得 ∫(csct)^3dt = (1/2)[-csct cott + ln|csct-cott|]

則 I = (a^3/6)[sect tant + ln|sect+tant|]<0, π/4>

+ (a^3/6)[-csct cott + ln|csct-cott|]<π/4, π/2>

= (a^3/6)[√2+ln(√2+1) + √2-ln(√2-1)]

= (a^3/6){2√2+ln[(√2+1)/(√2-1)]} = (a^3/6)[2√2+2ln(√2+1)]

= (a^3/3)[√2+ln(√2+1)]

二重積分極坐標(biāo)求解

你在(0，π/4)范圍內(nèi)，任意做一條射線，看原點到射線與區(qū)域邊界相交的點的距離就是積分上限，在這里直角三角形的一邊固定為1，又知道斜邊與該邊的夾角為θ，當(dāng)然斜邊應(yīng)該是1/cosθ啊，你的sinθ哪里來的。

二重積分 極坐標(biāo)方法求解

兩個圓方程的極坐標(biāo)為：

r1=1

r2=2cosθ

則，兩個圓的交點為

r1=r2.

可知 cosθ=1/2.; θ=±π/3

注意到圖形是關(guān)于極軸對稱的，所以，-π/3的部分等于π/3的部分

同時，陰影部分其實是兩個區(qū)域組成，也就是那條直線的左邊(I區(qū)域）和右邊（II區(qū)域），右邊就是單位圓部分。

所以可以直接用:答案前一部分表示。

左邊為圓r2的部分，則使用后一部分表示。積分區(qū)域

r: 0→2cosθ

θ：;π/3→π/2

區(qū)域間上面標(biāo)識I,II區(qū)域

二重積分的極坐標(biāo)表達(dá)式求解

兩個圓方程的極坐標(biāo)為：

r1=1

r2=2cosθ

則，兩個圓的交點為

r1=r2.

可知 cosθ=1/2.; θ=±π/3

注意到圖形是關(guān)于極軸對稱的，所以，-π/3的部分等于π/3的部分

同時，陰影部分其實是兩個區(qū)域組成，也就是那條直線的左邊(I區(qū)域）和右邊（II區(qū)域），右邊就是單位圓部分。

所以可以直接用:答案前一部分表示。

左邊為圓r2的部分，則使用后一部分表示。積分區(qū)域

r: 0→2cosθ

θ：;π/3→π/2

區(qū)域間上面標(biāo)識I,II區(qū)域