有理式間相乘的極限怎么求 極限求解： 請用最最基本的方法求極限，要解答的完整過程，圖解優(yōu)先

極限求解： 請用最最基本的方法求極限，要解答的完整過程，圖解優(yōu)先，有理分式的極限，問：什么叫“用有理運(yùn)算法則求極限？求函數(shù)極限有什么簡便方法？

本文導(dǎo)航

• 極限求解： 請用最最基本的方法求極限，要解答的完整過程，圖解優(yōu)先
• 有理分式的極限
• 問：什么叫“用有理運(yùn)算法則求極限
• 函數(shù)求極限的方法總結(jié)高中

極限求解： 請用最最基本的方法求極限，要解答的完整過程，圖解優(yōu)先

朋友，仔細(xì)看看下面的，肯定能幫到你~~~~~希望能為你解開煩惱

極限是描述數(shù)列和函數(shù)在無限過程中的變化趨勢的重要概念，是從近似認(rèn)識(shí)精確，從有限認(rèn)識(shí)無限，從量變認(rèn)識(shí)質(zhì)變的一種數(shù)學(xué)方法。同時(shí)，極限是微分的理論基礎(chǔ)，研究函數(shù)的性質(zhì)實(shí)際上就是研究各種類型的極限，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等，由此可見極限的重要性。而如何求極限，怎樣使求極限變得容易，這是絕大多數(shù)學(xué)生尤其是基礎(chǔ)較差的中專學(xué)生較為頭痛的問題。求極限不僅要準(zhǔn)確理解極限的概念、性質(zhì)和極限存在的條件，而且還要能準(zhǔn)確地求出各種極限。求的方法很多，針對中專學(xué)生的實(shí)際情況，筆者從基本概念、基本思路和計(jì)算方法三個(gè)方面總結(jié)如下。

一．基本概念

要求函數(shù)的極限，首先而且必須要正確理解函數(shù)的極限以及與其有關(guān)的幾個(gè)重要的基本概念。

⒈ ； .

以上兩個(gè)充要條件不僅給出了判斷極限是否存在的一個(gè)準(zhǔn)則，而且指明了含義為兩方面；的含義為兩方面。

⒉無窮大和無窮小

無窮大和無窮?。ǔ?shù)0外）都不是常數(shù)，而是兩類具有特定變化趨勢的變量，如果變量在某變化過程中，其絕對值無限制地增大，則稱在該變化過程中，為無窮大；如果在某變化過程中變量以零為極限，則稱在該變化過程中，為無窮小。籠統(tǒng)說某變量是無窮大或無窮小而沒有指出變化趨勢都是不正確的。

要求極限必須理解下面幾個(gè)與無窮大或無窮小有關(guān)的重要關(guān)系，它們對求函數(shù)的極限非常有用。

⑴函數(shù)的極限與無窮小的關(guān)系：

⑵無窮小與無窮大的關(guān)系：在同一變化過程中，若為無窮大，則是無窮??；若是無窮小，則是無窮大。

⑶無窮小與有界函數(shù)的關(guān)系：無窮小與有界函數(shù)的乘積仍是無窮小。

⒊函數(shù)連續(xù)與極限的關(guān)系

在某點(diǎn)處函數(shù)的連續(xù)性與極限既區(qū)別又聯(lián)系。

區(qū)別是：函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)不僅要求函數(shù)在這一點(diǎn)有極限，而且要求函數(shù)在這點(diǎn)處的極限值一定等于該點(diǎn)的函數(shù)值；而極限則是指函數(shù)在某點(diǎn)附近的變化趨勢，而與函數(shù)在該點(diǎn)處是否有定義或該點(diǎn)處的函數(shù)值沒有關(guān)系。

聯(lián)系是：⑴函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的充要條件是：。由此充要條件在可以判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性。

⑵函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)存在。

二． 求極限的基本思路

極限的計(jì)算題中分兩大類：一類是確定型的極限，它包括以下幾種情況：

⒈根據(jù)初等函數(shù)的連續(xù)性； ⒉直接利用極限運(yùn)算法則；

⒊利用無窮大與無窮小的關(guān)系；⒋利用無窮小與有界函數(shù)乘積為無窮小。

另一類是未定型（也稱未定式）的極限，它包括：、、∞—∞、1∞型。計(jì)算未定型限的基本思路是通過恒等變形等轉(zhuǎn)化為確定型的極限進(jìn)行計(jì)算，或利用兩個(gè)重要極限，或羅必達(dá)法則進(jìn)行計(jì)算。

三．求極限的方法

一．確定型的極限

⒈利用連續(xù)函數(shù)的連續(xù)性求極限——代入法

由函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)定義知，。由于初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)處處連續(xù)，所以求初等函數(shù)在定義區(qū)內(nèi)任意點(diǎn)處的極限值，就是求其函數(shù)在該點(diǎn)處的函數(shù)值。

【例1】：求【解】∵是初等函數(shù)，在其定義域（全體實(shí)數(shù)）內(nèi)連續(xù)∴所以用代入法求出該點(diǎn)的函數(shù)值就可。即=2·2＋2·2－5=3。

【例2】；求 【解】由于=在處連續(xù)，所以

⒉利用極限的四則運(yùn)算法則求極限。

設(shè)= A，= B，則±=A±B； ·=A·B，特別地=C·A； 。

⒊利用“無窮小與有界函數(shù)的乘積仍為無窮小”性質(zhì)求極限。

利用“無窮小與有界函數(shù)的乘積仍為無窮小”這一性質(zhì)可以計(jì)算某些函數(shù)的極限，但在應(yīng)用這一性質(zhì)求極限時(shí)，要注意求解過程的寫法。

【例3】求的極限 【解】當(dāng)時(shí)，是無窮小，而是有界函數(shù)，因此利用無窮小與有界函數(shù)的乘積是無窮小很快就會(huì)得解。于是，=0

⒋利用無窮大與無窮小的關(guān)系求極限。

無窮大與無窮小的關(guān)系：無窮大的倒數(shù)是一個(gè)無窮小；反之，在變化過程中不為零的無窮小，其倒數(shù)為一個(gè)無窮大。

【例4】求極限

【解】因?yàn)?0。即是當(dāng)時(shí)的無窮小，根據(jù)無窮大與無窮小的關(guān)系可知，它的倒數(shù)是當(dāng)時(shí)的無窮大，即。

⒌分別利用左右極限求得函數(shù)極限

求分段函數(shù)在連接點(diǎn)處的極，要分別求左、右極限求得函數(shù)極限。它根據(jù)以下定理：。對于分段函數(shù)考察是否存在就要分別求與。

二．未定型（也稱未定式）的極限

⒈可化為連續(xù)函數(shù)的函數(shù)極限

求函數(shù)極限時(shí)，有時(shí)常常會(huì)遇到，函數(shù)在點(diǎn)沒有意義，即函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù)，這時(shí)就不能直接利用代入法求函數(shù)的極限。這時(shí)要視具體情況對進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸冃危D(zhuǎn)化為連續(xù)函數(shù)，再利用函數(shù)的連續(xù)性求出極限，該方法常用于“”型的極限。在進(jìn)行變形時(shí)常用到因式分解、分子或分母“有理化”的運(yùn)算以及三角函數(shù)的有關(guān)公式。其目的就是消去分母中的零因子。

【例5】求

【解】當(dāng)時(shí)，，這時(shí)不能直接利用代入法求函數(shù)的極限，但對函數(shù)進(jìn)行分母“有理化”的恒等變形以后，就可化為連續(xù)函數(shù)的函數(shù)極限，再用代入法求函數(shù)的極限，即：

⒉利用兩個(gè)重要極限求極限

兩個(gè)重要極限給出了求型、1∞型的極限的計(jì)算

⑴兩個(gè)重要極限為：①②或

⑵由重要極限及替換可求下列極限：

① 若，則 ，極限過程改為其它情形也有類似的結(jié)論。

【例6】求

【解】

【例7】求

【解】

② 設(shè)，則利用重要極限有，其。

【例8】求極限

【解】=〔〕

⒊自變量趨向無窮大時(shí)有理分式求極限法則

⑴若分式中分子和分母的同次，則其極限等于分子和分母的最高次項(xiàng)的系數(shù)之比；

⑵若分式中分子的次數(shù)低于分母的次數(shù)，則該分式的極限是零；

⑶若分式中分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，則該分式的極限不存在（為無窮大）。

即當(dāng)時(shí)有

⒋利用洛必達(dá)法則求未定式的極限

求型或型未定式更常用的方法是用洛必達(dá)法則。具體方法如下：

⑴設(shè)的空心鄰域可導(dǎo)，，其中A可以是極限數(shù)也可以是。將改為或等也有相應(yīng)的洛比達(dá)法則。

⑵應(yīng)用上述法則是應(yīng)注意：①若不存在，也不為，不能說明不存在。例如，不存在。

②必須驗(yàn)證應(yīng)用法則的條件，必須是型或型未定式方可利用洛比達(dá)法則。例如，以下計(jì)算是錯(cuò)誤的： 。事實(shí)=，這里不是型也不是型未定式。

③若是型或型，可連續(xù)用洛比達(dá)法則，只要符合條件，一直可用到求出極限為止。

<求極限十法 >

1、利用定義求極限。

2、利用柯西準(zhǔn)則來求。

柯西準(zhǔn)則：要使{xn}有極限的充要條件使任給ε>0,存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，對于

任意的自然數(shù)m有|xn-xm|<ε.

3、利用極限的運(yùn)算性質(zhì)及已知的極限來求。

如：lim(x+x^0.5)^0.5/(x+1)^0.5

=lim(x^0.5)(1+1/x^0.5)^0.5/(x^0.5)(1+1/x)^0.5

=1.

4、利用不等式即：夾擠定理。

5、利用變量替換求極限。

例如lim (x^1/m-1)/(x^1/n-1)

可令x=y^mn

得：＝n/m.

6、利用兩個(gè)重要極限來求極限。

（1）lim sinx/x=1

　　x->0

(2)lim (1+1/n)^n=e

　　n->∞　

7、利用單調(diào)有界必有極限來求。

8、利用函數(shù)連續(xù)得性質(zhì)求極限。

9、用洛必達(dá)法則求，這是用得最多的。

10、用泰勒公式來求，這用得也很經(jīng)常。

解極限的16種方法

極限的保號(hào)性很重要 就是說在一定區(qū)間內(nèi) 函數(shù)的正負(fù)與極限一致

1 極限分為 一般極限 ， 還有個(gè)數(shù)列極限， （區(qū)別在于數(shù)列極限時(shí)發(fā)散的， 是一般極限的一種）

2解決極限的方法如下：（我能列出來的全部列出來了！?。。。∧氵€能有補(bǔ)充么？？？）

1 等價(jià)無窮小的轉(zhuǎn)化， （只能在乘除時(shí)候使用，但是不是說一定在加減時(shí)候不能用 但是前提是必須證明拆分后極限依然存在） e的X次方-1 或者 （1+x）的a次方-1等價(jià)于Ax 等等 。 全部熟記

（x趨近無窮的時(shí)候還原成無窮?。?/p>

2落筆他 法則 （大題目有時(shí)候會(huì)有暗示 要你使用這個(gè)方法）

首先他的使用有嚴(yán)格的使用前提?。。。。。?/p>

必須是 X趨近 而不是N趨近?。。。。。。。ㄋ悦鎸?shù)列極限時(shí)候先要轉(zhuǎn)化成求x趨近情況下的極限， 當(dāng)然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件

（還有一點(diǎn) 數(shù)列極限的n當(dāng)然是趨近于正無窮的 不可能是負(fù)無窮?。?/p>

必須是 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在?。。。。。。。。偃绺嬖V你g（x）, 沒告訴你是否可導(dǎo)， 直接用無疑于找死?。。?/p>

必須是 0比0 無窮大比無窮大！?。。。。。。?！

當(dāng)然還要注意分母不能為0

落筆他 法則分為3中情況

1 0比0 無窮比無窮 時(shí)候 直接用

2 0乘以無窮 無窮減去無窮 （ 應(yīng)為無窮大于無窮小成倒數(shù)的關(guān)系）所以 無窮大都寫成了無窮小的倒數(shù)形式了。通項(xiàng)之后 這樣就能變成1中的形式了

3 0的0次方 1的無窮次方 無窮的0次方

對于（指數(shù)冪數(shù)）方程 方法主要是取指數(shù)還取對數(shù)的方法， 這樣就能把冪上的函數(shù)移下來了， 就是寫成0與無窮的形式了 ， （ 這就是為什么只有3種形式的原因， LNx兩端都趨近于無窮時(shí)候他的冪移下來趨近于0 當(dāng)他的冪移下來趨近于無窮的時(shí)候 LNX趨近于0）

3泰勒公式 (含有e的x次方的時(shí)候 ，尤其是含有正余旋 的加減的時(shí)候要 特變注意 ?。。。。?/p>

E的x展開 sina 展開 cos 展開 ln1+x展開

對題目簡化有很好幫助

4面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法

取大頭原則 最大項(xiàng)除分子分母?。。。。。。。。。?！

看上去復(fù)雜處理很簡單 ！?。。。。。。。。?/p>

5無窮小于有界函數(shù)的處理辦法

面對復(fù)雜函數(shù)時(shí)候， 尤其是正余旋的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時(shí)候，一定要注意這個(gè)方法。

面對非常復(fù)雜的函數(shù) 可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來了！?。?/p>

6夾逼定理（主要對付的是數(shù)列極限?。?/p>

這個(gè)主要是看見極限中的函數(shù)是方程相除的形式 ，放縮和擴(kuò)大。

7等比等差數(shù)列公式應(yīng)用（對付數(shù)列極限） （q絕對值符號(hào)要小于1）

8各項(xiàng)的拆分相加 （來消掉中間的大多數(shù)） （對付的還是數(shù)列極限）

可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡函數(shù)

9求左右求極限的方式（對付數(shù)列極限） 例如知道Xn與Xn+1的關(guān)系， 已知Xn的極限存在的情況下， xn的極限與xn+1的極限時(shí)一樣的 ，應(yīng)為極限去掉有限項(xiàng)目極限值不變化

10 2 個(gè)重要極限的應(yīng)用。 這兩個(gè)很重要 ！?。。。Φ谝粋€(gè)而言是X趨近0時(shí)候的sinx與x比值 。 地2個(gè)就如果x趨近無窮大 無窮小都有對有對應(yīng)的形式

（地2個(gè)實(shí)際上是 用于 函數(shù)是1的無窮的形式 ）（當(dāng)?shù)讛?shù)是1 的時(shí)候要特別注意可能是用地2 個(gè)重要極限）

11 還有個(gè)方法 ，非常方便的方法

就是當(dāng)趨近于無窮大時(shí)候

不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的?。。。。。。。。。。。。。?！

x的x次方 快于 x！ 快于 指數(shù)函數(shù) 快于 冪數(shù)函數(shù) 快于 對數(shù)函數(shù) （畫圖也能看出速率的快慢） !!!!!!

當(dāng)x趨近無窮的時(shí)候 他們的比值的極限一眼就能看出來了

12 換元法 是一種技巧，不會(huì)對模一道題目而言就只需要換元， 但是換元會(huì)夾雜其中

13假如要算的話 四則運(yùn)算法則也算一種方法 ，當(dāng)然也是夾雜其中的

14還有對付數(shù)列極限的一種方法，

就是當(dāng)你面對題目實(shí)在是沒有辦法 走投無路的時(shí)候可以考慮 轉(zhuǎn)化為定積分。 一般是從0到1的形式 。

15單調(diào)有界的性質(zhì)

對付遞推數(shù)列時(shí)候使用 證明單調(diào)性！?。。。。?/p>

16直接使用求導(dǎo)數(shù)的定義來求極限 ，

（一般都是x趨近于0時(shí)候，在分子上f（x加減麼個(gè)值）加減f（x）的形式， 看見了有特別注意）

（當(dāng)題目中告訴你F(0)=0時(shí)候 f（0）導(dǎo)數(shù)=0的時(shí)候 就是暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)定義?。。。。?/p>

有理分式的極限

解

0/0型未定式，洛必達(dá)法則有

分子-1/2*（1-x）^（-1/2）

分母1/3*（x）^（-2/3）

當(dāng)x=-8有

分子=-1/6

分母=1/12

綜上 原式=-2

問：什么叫“用有理運(yùn)算法則求極限

在AB極限都存在的條件下，和、差、積、商（分母不為0）的極限等于各自極限的和、差、積、商。并推廣到有限個(gè)極限的情形，四則運(yùn)算法則也適用。

函數(shù)求極限的方法總結(jié)高中

1、【直接計(jì)算】

能直接計(jì)算,而又不出現(xiàn)不定式的情況,就直接代入計(jì)算；

2、【羅必達(dá)方法】

如果出現(xiàn)七種不定式之一,就不可以直接代入計(jì)算,如果是連續(xù)函數(shù),

就必須把七種不定式,統(tǒng)統(tǒng)化成無窮大比無窮大的形式,或無窮小比

無窮小的形式,然后運(yùn)用羅必達(dá)方法；

3、【變量代換】

如果不是連續(xù)函數(shù),卻是七種不定式之一,就必須做變量代換,然后

化成連續(xù)函數(shù),通常是零x=1/n,然后就可以使用羅必達(dá)方法；

4、【定積分】

將極限化成定積分計(jì)算；

5、【有理化】

對于簡單的0比0,或無窮大比無窮大的題目,先分子有理化,或分母

有理化,或分子分母同時(shí)有理化；

6、【分子有理化】

對于無窮大減無窮大的情況,分子有理化；

7、【因式分解】

能因式分解的盡一切可能因式分解,因式分解的方法通常有很多,最

常見的是a^2-b^2,其次是a^n-b^n,十字相乘法,長除法等等；

8、【特別極限】

運(yùn)用兩個(gè)特別極限：sinx/x,(1+無窮小)^無窮大(該無窮小的倒數(shù))=e；

9、【夾擠法】

夾擠法,結(jié)合放大、縮小法