什么是無零因子環(huán) 怎么證明無零因子
證明一個至少有兩個元素的且沒有零因子的有限環(huán)，R是一個除環(huán)，數(shù)學(xué)中的環(huán)是什么意思？不屬于無零因子環(huán)的是 整數(shù)環(huán)，偶數(shù)環(huán)，高斯整環(huán)，z6，無零因子環(huán)消去律一定成立嗎？不屬于無零因子環(huán)的是 A.整數(shù)環(huán) B.偶數(shù)環(huán) C.高斯整環(huán) D.Z6，是無零因子環(huán)。
本文導(dǎo)航
正定矩陣性質(zhì)及證明
證：設(shè)V為R中非零元構(gòu)成的集合。由題意知V中至少含有一個元。對于任意a，b屬于V，因為R中的乘法構(gòu)成半群，所以a*b屬于R。因為R是無零因子環(huán)，a和b都不等于0，所以a*b屬于V，即V對乘法運算滿足封閉性。顯然任何V里的元對乘法滿足結(jié)合律，所以V對乘法構(gòu)成半群。又因為R是無零因子環(huán)，乘法滿足消去律，故V中的乘法也滿足消去律。因此，任意一個滿足消去律的有限半群構(gòu)成一個群。于是R中所有非零元構(gòu)成群，故R是一個除環(huán)。
數(shù)學(xué)中的數(shù)的含義
環(huán)的定義
一個環(huán)是由一個集合R和兩種二元運算 + 和 · 組成，這兩種運算可稱為加法和乘法。一個環(huán)必須遵守以下規(guī)律：
(R, +)形成一個可交換群，其單位元稱作零元素，記作‘0’。即：
(a + b) = (b + a)
(a + b) + c = a + (b + c)
0 + a = a + 0 = a
?a ?(?a) 滿足 a + ?a = ?a + a = 0
(R, ·)遵守：
1·a = a·1 = a （僅限于含幺環(huán)）
(a·b)·c = a·(b·c)
乘法關(guān)于加法滿足分配律：
a·(b + c) = (a·b) + (a·c)
(a + b)·c = (a·c) + (b·c)
注意乘法中的·常常被省略，所以 a·b 可簡寫為 ab。 此外，乘法是比加法優(yōu)先的運算，所以 a + bc 其實是 a + (b·c)。
幾類特殊的環(huán)
含單位元環(huán)：
在環(huán)的定義中，對于乘法單位(1)的存在并沒有做明確的要求。如果一個環(huán)R對于乘法有單位元存在(稱幺元素或幺元或單位元，記作‘1’)，則這個環(huán)稱為含幺環(huán)或含單位元環(huán)。
交換環(huán)：
雖然環(huán)的定義要求加法具有交換律，但并沒有要求乘法也具有交換律。如果我們上面定義的乘法具有交換性：ab=ba，那么這個環(huán)就稱為交換環(huán)。
除環(huán)：
主條目：除環(huán)
如果含單位元環(huán)R去掉關(guān)于加法的單位元0后，對于乘法形成一個群（一般來說環(huán)R對乘法形成半群），那么這個環(huán)就稱為除環(huán)。除環(huán)不一定是交換環(huán)，比如四元數(shù)環(huán)。交換的除環(huán)就是域。
無零因子環(huán)：
一般來說環(huán)R對乘法形成半群，但R\{0}對乘法不一定形成半群。因為如果有兩個非零元素的乘積是零，R\{0}對乘法就不是封閉的。如果R\{0}對乘法仍然形成半群，那么這個環(huán)就稱為無零因子環(huán)。
這個定義實際上等價于任意兩個非零元素的乘積非零。
整環(huán)：
主條目：整環(huán)
整環(huán)是含單位元的無零因子的交換環(huán)。例如多項式環(huán)和整數(shù)環(huán)。
主理想環(huán)：
主條目：主理想環(huán)
每一個理想都是主理想的整環(huán)稱為主理想環(huán)。
唯一分解環(huán)：
主條目：唯一分解環(huán)
如果一個整環(huán)R中每一個非零非可逆元素都能唯一分解，稱R是唯一分解環(huán).
商環(huán)：
主條目：商環(huán)
素環(huán)：
主條目：素環(huán)
例子：
整數(shù)環(huán)是一個典型的交換且含單位環(huán)。
有理數(shù)環(huán)，實數(shù)域，復(fù)數(shù)域都是交換的含單位元環(huán)。
所有項的系數(shù)構(gòu)成一個環(huán)A的多項式全體A[X]是一個環(huán)。稱為A上的多項式環(huán)。
n為正整數(shù)，所有n×n的實數(shù)矩陣構(gòu)成一個環(huán)。
環(huán)的理想
主條目：理想
右理想： 令R是環(huán)， 那么環(huán)R與其加法 + 構(gòu)成阿貝爾群。令I(lǐng)是R的子集。那么I稱為R的右理想 如果以下條件成立：
(I, +) 構(gòu)成 (R, +) 的子群。
對于任意 和 有 。
左理想： 類似地，I稱為R的左理想如果以下條件成立：
(I, +) 構(gòu)成 (R, +) 的子群。
對于任意 和 有 。
如果I既是右理想，也是左理想，那么I就叫做雙邊理想，簡稱理想。
例子：
整數(shù)環(huán)的理想：整數(shù)環(huán)Z只有形如的nZ理想。
除環(huán)的理想：除環(huán)中的(左或右)理想只有平凡(左或右)理想。
一般性質(zhì)：
定理1 在環(huán)中，(左或右)理想的和仍然是(左或右)理想。
定理2 在環(huán)中，(左或右)理想的交仍然是(左或右)理想。
對于R的兩個理想A，B，記。按定義不難證明下面的基本性質(zhì)：
(1) 如果A是R的左理想，則AB是R的左理想；
(2) 如果B是R的右理想，則AB是R的右理想；
(3) 如果A是R的左理想，B是R的右理想，則AB是R的雙邊理想。
如果A環(huán)R的一個非空子集，令<A>=RA+AR+RAR+ZA，則<A>是環(huán)R的理想，這個理想稱為R中由A生成的理想, A稱為生成元集。同群的生成子群類似，<A>是R中所有包含A的理想的交,因此是R中包含A的最小理想。下面是生成理想的幾種特殊情況：
(1) 當(dāng)是交換環(huán)時，<A>=RA+ZA
(2) 當(dāng)是有單位元1的環(huán)時，<A>=RAR
(3) 當(dāng)是有單位元交換環(huán)時，<A>=RA
主理想：如果是個n元集合，則記，稱是有限生成理想.特別當(dāng)是單元素集時，稱為環(huán)R的主理想。注意作為生成元一般不是唯一的，如。的一般形式是：
性質(zhì)：
幾類特殊環(huán)中的主理想：
(1) 如果是交換環(huán)，則
(2) 如果是有單位元的環(huán)，則
(3) 如果是有單位元的交換環(huán)，則
真理想： 如果I是R的真子集，I就叫做R的真理想。
極大理想： 一個真理想I被稱為R的極大理想，如果沒有其他真理想J,使得I是J的真子集。
極大左理想：設(shè) I 是環(huán)R的左理想，如果并且在 I 與R之間不存在真的左理想，則稱 I 是環(huán)R的一個極大左理想。極大左理想與極大理想之間有如下關(guān)系：
(1)如果 I 是極大左理想，又是雙邊理想，則 I 是極大理想。
(2)極大理想未必是極大左理想。
除環(huán)的零理想是極大理想。在有單位元的環(huán)中，如果零理想是其極大理想,稱這種環(huán)是單環(huán)。除環(huán)是單環(huán)，域也是單環(huán)。反之則不對，即存在不是除環(huán)的單環(huán)。
定理1 在整數(shù)環(huán)Z中，由p生成的主理想是極大理想的充分必要條件是：p是素數(shù)。
定理2 設(shè)R是有單位元1的交換環(huán)。理想 I 是R的極大理想的充分且必要條件是：商環(huán)R / I是域。
定理3 設(shè) I 是環(huán)R的左理想，則 I 是R的極大左理想的充分必要條件是對R的任意一個不含在 I 中的左理想J都有I + J = R。
素理想：真理想I被稱為R的素理想，如果對于R的任意理想A，B， 可推出 或 。
素環(huán)：如果環(huán)R的零理想是素理想，則稱R是素環(huán)(或質(zhì)環(huán))。無零因子環(huán)是素環(huán)。在交換環(huán)R中，真理想 I 是素理想的充分且必要條件是：R / I是素環(huán).
半素理想：設(shè) I 是環(huán)R的理想，并且。如果對任意理想P，由，可得，則稱 I 是環(huán)R的半素理想。
顯然，半素理想是一類比素理想相對較弱條件的理想，因為素理想是半素理想，但半素理想未必是素理想。
證明整數(shù)環(huán)是主理想環(huán)
Z6不是無零因子環(huán)。因為2乘3模6得0
什么時候使用消零因子法
當(dāng)然了。無左零因子的充要條件是左消去律成立，無右零因子的充要條件是右消去律成立。在環(huán)中，無左零因子等價于無零因子等價于無右零因子等價于消去律成立等價于非零元關(guān)于乘法成半群
環(huán)中零元素是零因子么
選D。
A B C都是整環(huán)，整環(huán)的定義中的一個條件就有無零因子。
D的話，他有三個零因子，分別是2 3 6
怎么證明無零因子
對.如果p是素數(shù),那么就是無零因子環(huán)
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