向量什么時候線性相關(guān) 怎么判斷向量組的線性相關(guān)和無關(guān)

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本文導(dǎo)航

• 怎么判斷向量組的線性相關(guān)和無關(guān)
• 線性代數(shù)中判斷線性相關(guān)的方法
• 如何判斷三個向量線性相關(guān)
• 三個向量線性相關(guān)怎么判斷
• 怎么理解線性相關(guān)和線性無關(guān)
• 如何判斷向量線性相關(guān)線性無關(guān)

怎么判斷向量組的線性相關(guān)和無關(guān)

1078523864 | 08-04-20 0 3 舉報

向量的線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念是對向量組而言的。

如果存在不全為0的實數(shù)a1,a2,...an，使得a1*v1+a2*v2+...+an*vn=0，則稱向量組v1,v2,...,vn是線性相關(guān)的，否則就稱向量組v1,v2,...,vn是線性無關(guān)的。

特殊地，對于僅有一個向量構(gòu)成的向量組，如果這個向量是零向量，則向量組是線性相關(guān)的；如果這個向量是非零向量，則向量組是線性無關(guān)的。

線性代數(shù)中判斷線性相關(guān)的方法

線性代數(shù)中的線性相關(guān)是指：

如果對于向量α1,α2,…,αn，

存在一組不全為0的實數(shù)k1、k2、…、kn，

使得：k1·α1+k2·α2+…kn·αn=0成立，

那么就說α1,α2,…,αn線性相關(guān)；

線性代數(shù)中的線性無關(guān)是指：

如果對于向量α1,α2,…,αn，

只有當k1=k2=…=kn=0時，

才能使k1·α1+k2·α2+…kn·αn=0成立，

那么就說α1,α2,…,αn線性無關(guān)

如何判斷三個向量線性相關(guān)

1、定義法

令向量組的線性組合為零（零向量），研究系數(shù)的取值情況，線性組合為零當且僅當系數(shù)皆為零，則該向量組線性無關(guān)；若存在不全為零的系數(shù)，使得線性組合為零，則該向量組線性相關(guān)。

2、向量組的相關(guān)性質(zhì)

（1）當向量組所含向量的個數(shù)與向量的維數(shù)相等時，該向量組構(gòu)成的行列式不為零的充分必要條件是該向量組線性無關(guān)；

（2）當向量組所含向量的個數(shù)多于向量的維數(shù)時，該向量組一定線性相關(guān)；

（3）通過向量組的正交性研究向量組的相關(guān)性；

（4）通過向量組構(gòu)成的齊次線性方程組解的情況判斷向量組的線性相關(guān)性；線性方程組有非零解向量組就線性相關(guān)，反之，線性無關(guān)。

（5）通過向量組的秩研究向量組的相關(guān)性。若向量組的秩等于向量的個數(shù)，則該向量組是線性無關(guān)的；若向量組的秩小于向量的個數(shù)，則該向量組是線性相關(guān)的。

擴展資料：

線性重要性質(zhì)

1、向量組B=(β1，β2，……，βm)能由向量組A=(α1，α2，……，αm)線性表示的充要條件是矩陣A=(α1，α2，……，αm)的秩等于矩陣(α1，α2，……，αm，B)的秩。

2、向量組B能由向量組A線性表示，則向量組B的秩不大于向量A的秩。反之不一定成立。

3、零向量可由任一組向量線性表示。

4、向量組α1，α2，……，αm中每個向量都可由向量組本身線性表示。

5、設(shè)α1，α2，……，αm線性無關(guān)，而α1，α2，……，αm，?線性相關(guān)，則β可由α1，α2，……，αm線性表示，且表示是唯一的。

三個向量線性相關(guān)怎么判斷

如果有一個向量b能被其他幾個向量a1,a2,a3,...線性表出，即b=k1*a1+k2*a2+k3*a3...，其中的系數(shù)k1,k2,k3,...不全為0，就稱b,a1,a2,a3,...線性相關(guān)

另一種描述是存在不全為0的k1,k2,k3,...使得k1*a1+k2*a2+k3*a3+...=0，則a1,a2,a3,...線性相關(guān)

以上兩種定義是等價的~推一下就出來了

相反線性無關(guān)的話就是上面定義中的系數(shù)k1,k2,k3,...全部為0

例子就不舉了..向量打出來太麻煩了..

補充一下零向量和任何向量都線性相關(guān)，任何一個向量組里面有零向量則這組向量線性相關(guān)，由定義2可以得出

怎么理解線性相關(guān)和線性無關(guān)

線性相關(guān)就是一些數(shù)據(jù)畫在坐標軸上的點大致呈一條線（直線或曲線）當x增大時y也增大，但不是按比例增大的，只是說它們有一定的關(guān)系，所以叫線性相關(guān)”

在線性代數(shù)里，矢量空間的一組元素中，若沒有矢量可用有限個其他矢量的線性組合所表示，則稱為線性無關(guān)或線性獨立（linearly independent），反之稱為線性相關(guān)（linearly dependent）。

擴展資料

線性相關(guān)定理：

1、向量a1，a2， ···，an（n≧2）線性相關(guān)的充要條件是這n個向量中的一個為其余（n－1）個向量的線性組合。

2、一個向量線性相關(guān)的充分條件是它是一個零向量。

3、兩個向量a、b共線的充要條件是a、b線性相關(guān)。

4、三個向量a、b、c共面的充要條件是a、b、c線性相關(guān)。

5、n＋1個n維向量總是線性相關(guān)

如何判斷向量線性相關(guān)線性無關(guān)

向量a1，a2，……，an(n≧2)線性相關(guān)的充要條件是這n個向量中的一個為其余(n-1)個向量的線性組合。一個向量線性相關(guān)的充分條件是它是一個零向量。

兩個向量a、b共線的充要條件是a、b線性相關(guān)。三個向量a、b、c共面的充要條件是a、b、c線性相關(guān)。n+1個n維向量總是線性相關(guān)。

對于任一向量組而言,，不是線性無關(guān)的就是線性相關(guān)的。

向量組只包含一個向量a時，a為0向量，則說A線性相關(guān); 若a≠0, 則說A線性無關(guān)。

包含零向量的任何向量組是線性相關(guān)的。

含有相同向量的向量組必線性相關(guān)。

增加向量的個數(shù)，不改變向量的相關(guān)性。(注意，原本的向量組是線性相關(guān)的)【局部相關(guān)，整體相關(guān)】

減少向量的個數(shù)，不改變向量的無關(guān)性。(注意，原本的向量組是線性無關(guān)的）【整體無關(guān)，局部無關(guān)】

一個向量組線性無關(guān)，則在相同位置處都增加一個分量后得到的新向量組仍線性無關(guān)?！緹o關(guān)組的加長組仍無關(guān)】