為什么實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以對(duì)角化 關(guān)于矩陣可對(duì)角化的幾個(gè)條件

為什麼實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以對(duì)角化？或者證明一下實(shí)對(duì)稱矩陣的n個(gè)特徵值一定有n個(gè)線性無關(guān)的特徵向量，實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以主對(duì)角化嗎？為什么實(shí)對(duì)稱矩陣一定能對(duì)角化？為什么實(shí)對(duì)稱矩陣必可對(duì)角化？實(shí)對(duì)稱矩陣是不是一定可以相似對(duì)角化，為什么實(shí)對(duì)稱矩陣一定能對(duì)角化？

本文導(dǎo)航

• 關(guān)于矩陣可對(duì)角化的幾個(gè)條件
• 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值一定是實(shí)數(shù)嗎
• 什么條件下矩陣可對(duì)角化
• 正規(guī)矩陣和可對(duì)角化矩陣
• 怎么判斷是否是實(shí)對(duì)稱矩陣
• 如何證明矩陣可以對(duì)角化

關(guān)于矩陣可對(duì)角化的幾個(gè)條件

對(duì)于n階實(shí)對(duì)稱矩陣Q，設(shè)以它的k個(gè)線性無關(guān)的特征向量為列構(gòu)成的矩陣為U（U是n行k列）

下證明，如果k<n，總可以找到一個(gè)新的特征向量，這樣可以不斷添加直到找到Q的n個(gè)線性無關(guān)特征向量

將U補(bǔ)全為一個(gè)n階正交方陣P=[U V]，則V是n行n-k列，且有U^TV=0和V^TQU=V^T[t1*u1...tk*uk]=0，其中ti是Q的特征向量。

考慮V^TQV，設(shè)它的一對(duì)特征值和特征向量是t和w，即V^TQVw=tw，則可以證明Vw是Q的一個(gè)以t為特征值的特征向量，理由如下：

只需證明兩點(diǎn)：1)Vw與已有特征向量線性無關(guān)

2)QVw=tVw

對(duì)于1)，U^TVw=0w=0

對(duì)于2)，令r=QVw-tVw，由上文有V^Tr=0。而U^Tr=U^TQVw-U^TtVw=0-0=0（上文已證V^TQU=0），所以P^Tr=[U V]^Tr=0。由于P可逆，所以r=0，即QVw=tVw

實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值一定是實(shí)數(shù)嗎

可以.

定理: 實(shí)對(duì)稱矩陣的k重特征值恰有k個(gè)線性無關(guān)的特征向量

所以實(shí)對(duì)稱矩陣一定有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量

所以實(shí)對(duì)稱矩陣可對(duì)角化

什么條件下矩陣可對(duì)角化

直接證明更強(qiáng)的結(jié)論：Hermite矩陣可以酉對(duì)角化

如果A是Hermite陣，取A的一個(gè)單位特征向量x，張成一個(gè)酉陣Q=[x,*]

那么Q^HAQ具有分塊結(jié)構(gòu)

λ 0

0 B

對(duì)B用歸納假設(shè)就行了

正規(guī)矩陣和可對(duì)角化矩陣

這涉及到一系列的定理，不是在這里可以詳細(xì)解答的，告訴你這些定理，并注明在同濟(jì)《線性代數(shù)》第三版中的位置，你可以詳細(xì)閱讀，其它版本的《線性代數(shù)》可以到相應(yīng)地方去找。

定理1：n階矩陣A能與對(duì)角陣相似的充要條件是A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。（p146定理4）

定理2：實(shí)對(duì)稱陣A的特征值都是實(shí)數(shù)。（p147定理5）

由這個(gè)定理可以知道，實(shí)對(duì)稱陣一定存在實(shí)特征向量。

定理3：實(shí)對(duì)稱陣的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量一定是互相正交的。（p147定理6）

注：正交的向量組一定是線性無關(guān)的向量組。

定理4：實(shí)對(duì)稱陣A的r重特征值λ一定有r個(gè)線性無關(guān)的特征向量。（p148定理7）

由這個(gè)定理可以知道，n階實(shí)對(duì)稱陣一定有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。

結(jié)合定理1與定理4，就可以得到你需要的結(jié)論。

怎么判斷是否是實(shí)對(duì)稱矩陣

若能證明下列命題，你的問題便也立即得到解決了。

設(shè)A是一個(gè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣，那么可以找到n階正交矩陣T，使得（T的逆陣）AT為對(duì)角矩陣。

證明：當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論顯然成立?，F(xiàn)在證明若對(duì)n-1階實(shí)對(duì)稱矩陣成立，則 對(duì)n階實(shí)對(duì)稱矩陣也成立。設(shè)シ是A的一個(gè)特征值（n階矩陣一定有n個(gè)特征值（計(jì)數(shù)重復(fù)的）），設(shè)α是A 的一個(gè)特征向量（α是列向量）。（（α的轉(zhuǎn)置）*A）的轉(zhuǎn)置=Aα=シα。因?yàn)樘卣飨蛄康姆橇惚稊?shù)仍然是特征向量，所以只要把α的每一個(gè)元都除以イ，其中イ的平方=（α的轉(zhuǎn)置）*α，就使得α為單位向量（所謂單位向量就是（α的轉(zhuǎn)置）*α=1）。顯然所有的單位向量有無數(shù)個(gè)，且顯然可以找到足夠多的列單位向量，使得他們與α的內(nèi)積為0且他們兩兩內(nèi)積等于0，因?yàn)檎痪仃嚨某湟獥l件是列（行）向量兩兩正交且都是單位向量，又因?yàn)閷?duì)方陣而言若AB=E則BA=E，故可以 以α為第一列人工寫出一個(gè)正交矩陣Q，（所謂正交矩陣就是（Q的轉(zhuǎn)置）*Q=Q*(Q的轉(zhuǎn)置)=E）。由（（α的轉(zhuǎn)置）*A）的轉(zhuǎn)置=Aα=シα 得（Q的轉(zhuǎn)置）A的第一行是（シα）的轉(zhuǎn)置，于是 （Q的轉(zhuǎn)置）AQ的第1行第1列處是シ（α的轉(zhuǎn)置）α= シ，還可以推出（Q的轉(zhuǎn)置）AQ的第一列除了第一行以外都是0（至于這是為啥實(shí)在不方便打字，讀者可以自己算一下，提示一下 設(shè)t是T是元，tij*t+t..*t..+t..*t..+t..*t..時(shí)若每一項(xiàng)的角標(biāo)都不完全一樣，那么這些加起來就是0）。因?yàn)镼是正交矩陣，（（Q的逆陣）AQ）的轉(zhuǎn)置=（Q的轉(zhuǎn)置）（A的轉(zhuǎn)置）（Q的逆陣的轉(zhuǎn)置）=（Q的逆陣）AQ，所以（Q的逆陣）AQ也是對(duì)稱矩陣，所以它第一行除了第一列以外也都是0，而除了第一行第一列剩下的一大塊矩陣還是一個(gè)對(duì)稱矩陣，所以最后可以反復(fù)進(jìn)行這個(gè)過程整成對(duì)角矩陣。證畢

然而正交矩陣一定是可逆矩陣，對(duì)方陣而言可逆等價(jià)于滿秩，乘以一個(gè)方陣滿秩方陣以后秩不變，這就證明了你的實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以相似對(duì)角化

如何證明矩陣可以對(duì)角化

實(shí)對(duì)稱陣的特征值都是實(shí)數(shù)，所以n階陣在實(shí)數(shù)域中就有n個(gè)特征值，并且實(shí)對(duì)稱陣的每個(gè)特征值的重?cái)?shù)和屬于它的無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)是一樣的。

在線性代數(shù)中，對(duì)稱矩陣是一個(gè)方形矩陣，其轉(zhuǎn)置矩陣和自身相等。1855年，埃米特證明了別的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的一些矩陣類的特征根的特殊性質(zhì)，如稱為埃米特矩陣的特征根性質(zhì)等。

后來，克萊伯施(A.Clebsch,1831-1872年)、布克海姆(A.Buchheim)等證明了對(duì)稱矩陣的特征根性質(zhì)。泰伯(H.Taber)引入矩陣的跡的概念并給出了一些有關(guān)的結(jié)論。

矩陣是高等代數(shù)學(xué)中的常見工具，也常見于統(tǒng)計(jì)分析等應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科中。在物理學(xué)中，矩陣于電路學(xué)、力學(xué)、光學(xué)和量子物理中都有應(yīng)用；計(jì)算機(jī)科學(xué)中，三維動(dòng)畫制作也需要用到矩陣。 矩陣的運(yùn)算是數(shù)值分析領(lǐng)域的重要問題。

將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實(shí)際應(yīng)用上簡化矩陣的運(yùn)算。對(duì)一些應(yīng)用廣泛而形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和準(zhǔn)對(duì)角矩陣，有特定的快速運(yùn)算算法。