1 n 2 為什么收斂 如何證明級(jí)數(shù)n分之一收斂

為什么級(jí)數(shù)1/n^2收斂呢？高數(shù)題求解，為什么1/n的平方收斂？為什么級(jí)數(shù)1/n^2收斂呢 請(qǐng)懂的說一下 不要說什么書上有？對(duì)1/n^2求和，這個(gè)級(jí)數(shù)為何是收斂的？證明1/n^2級(jí)數(shù)的收斂性，1/n^2為什么是收斂的？

本文導(dǎo)航

• 級(jí)數(shù)根號(hào)下n分之一是收斂還是發(fā)散
• 1的n次方收斂還是發(fā)散
• 一般項(xiàng)為1的級(jí)數(shù)收斂還是發(fā)散
• 級(jí)數(shù)n是收斂還是發(fā)散
• 如何證明級(jí)數(shù)n分之一收斂
• 2n分之n是收斂還是發(fā)散

級(jí)數(shù)根號(hào)下n分之一是收斂還是發(fā)散

樓上的解答，確實(shí)是說明了1/2 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + 。。。。。。。收斂。

但是不能說明它收斂于;π2/6，下面的解答給予具體計(jì)算，不過需要用到傅里葉級(jí)數(shù)：

1的n次方收斂還是發(fā)散

級(jí)數(shù)∑1/n^2的前n項(xiàng)和sn=1+1/2^2+1/3^2+……+1/n^2是遞增的，且sn<1+1/2+1/(2×3)+1/(3×4)+……+1/[n(n-1)]=2-1/n<2，故sn有界。由單調(diào)有界定理，{sn}存在極限，所以級(jí)數(shù)∑1/n^2收斂。事實(shí)上，級(jí)數(shù)∑1/n^2收斂于π^2/6

一般項(xiàng)為1的級(jí)數(shù)收斂還是發(fā)散

根據(jù)一個(gè)定理（具體是哪一個(gè)定理你可以在你用的書上找），給定序列(a_n)（其中n代表a的下角標(biāo)），如果a_n>=0，那么級(jí)數(shù)Sum_{n=1}^{Infinity} a_n（這個(gè)表達(dá)方式代表求和n=1到正無窮）收斂，當(dāng)且僅當(dāng)部分和Sum_{n=1}^{n}有上界。

關(guān)于這個(gè)定理的證明就是另一個(gè)問題了。

那么，根據(jù)這個(gè)定理，在你的問題中a_n=1/n^2>=0，我們現(xiàn)在計(jì)算部分和：

Sum_{n=1}^{n}1/n^2 = 1 + Sum_{n=2}^{n} 1/n^2

<= 1+ Sum_{n=2}^{n} 1/(n(n-1))

= 1 + Sum_{n=2}^{n} (1/(n-1) - 1/n) （把求和符號(hào)打開后，就有了后項(xiàng)前項(xiàng)可以消去的形式，只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)）

= 1 + 1 - 1/n

<= 2

所以部分和有上限的條件也滿足了，所以是收斂的。

級(jí)數(shù)n是收斂還是發(fā)散

因?yàn)檫@個(gè)是個(gè)p-級(jí)數(shù)，因?yàn)閜>1,所以是收斂的。具體我給你證明一下p-級(jí)數(shù)的斂散性，比你這倒題目本身更有意義。具體看我的空間，給我5分鐘做圖片！

http://hi.baidu.com/chentanlongshe/album/item/67a1d8feef3c173d5c60081e.html

如何證明級(jí)數(shù)n分之一收斂

具體回答如下：

柯西準(zhǔn)則：

級(jí)數(shù)的收斂問題是級(jí)數(shù)理論的基本問題。從級(jí)數(shù)的收斂概念可知，級(jí)數(shù)的斂散性是借助于其部分和數(shù)列Sm的斂散性來定義的。

因此可從數(shù)列收斂的柯西準(zhǔn)則得出級(jí)數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則 ：∑un收斂<=>任意給定正數(shù)ε，必有自然數(shù)N，當(dāng)n>N，對(duì)一切自然數(shù) p，有|u[n+1]+u[n+2]+…+u[n+p]|<ε，即充分靠后的任意一段和的絕對(duì)值可任意小。

2n分之n是收斂還是發(fā)散

什么東西，1/n是調(diào)和級(jí)數(shù)，1/n^2不是。p級(jí)數(shù)p大于1就是收斂的