怎么判別正定 怎么判斷矩陣是否為正定二次型

如何辨別正定和半正定和負定？怎么判定一個二次型是正定的？正定矩陣的判別方法。

本文導航

• 如何辨別正定和半正定和負定。
• 怎么判斷矩陣是否為正定二次型
• 正定矩陣的判別方法

如何辨別正定和半正定和負定。

正定矩陣

1.正定矩陣的任一主子矩陣也是正定矩陣。

2.若A為n階對稱正定矩陣，則存在唯一的主對角線元素都是正數的下三角陣L，使得A=L*L′，此分解式稱為 正定矩陣的楚列斯基（Cholesky）分解。

3.若A為n階正定矩陣，則A為n階可逆矩陣。

判定一個矩陣半正定

1、對于半正定矩陣來說，相應的條件應改為所有的主子式非負。順序主子式非負并不能推出矩陣是半正定的。

2、半正定矩陣

定義：設A是實對稱矩陣。如果對任意的實非零列矩陣X有XT*A*X≥0，就稱A為半正定矩陣。

3、A∈Mn（K）是半正定矩陣的充分條件是：A的所有主子式大于或等于零。

負定矩陣

定義：設A是實對稱矩陣。如果對任意的實非零列矩陣X有XTAX<0，就稱A為負定矩陣。

1. A∈Mn（K）是負定矩陣的充要條件是：-A是正定矩陣。

2. A∈Mn（K）是負定矩陣的充要條件是：$A^{-1}$是負定矩陣。

3. A∈Mn（K）是負定矩陣的充要條件是：A的所有奇數階順序主子式小于零，所有偶數階順序主子式大于零。

怎么判斷矩陣是否為正定二次型

正定矩陣的判別方法

判斷一個矩陣是否為正定矩陣有兩種方法：
1、求出A的所有特征值。若A的特征值均為正數，則A是正定的；若A的特征值均為負數，則A為負定的。
2、計算A的各階主子式。若A的各階主子式均大于零，則A是正定的；若A的各階主子式中，奇數階主子式為負，偶數階為正，則A為負定的。半正定矩陣的特點：
1、半正定矩陣的行列式是非負的；兩個半正定矩陣的和是半正定的；非負實數與半正定矩陣的數乘矩陣是半正定的。
2、設A是實對稱矩陣。如果對任意的實非零列向量x有xTAx≥0x有xTAx≥0，就稱A為半正定矩陣。