級(jí)數(shù)1 n 2-n為什么發(fā)散 級(jí)數(shù)n的n次方是發(fā)散還是收斂

無窮級(jí)數(shù) 1/n 為何是發(fā)散的？ 無窮級(jí)數(shù)1/（n^2）和(1/n^3)又為何是收斂的？最好用圖像作邏輯判斷？級(jí)數(shù)1/n發(fā)散的意義是什么？級(jí)數(shù)1/n為什么發(fā)散，當(dāng)n趨于無窮時(shí)不是0么？為什么級(jí)數(shù)1/2，n從1到無窮是發(fā)散的？為什么級(jí)數(shù)1/n是發(fā)散的而級(jí)數(shù)1/n^2是收斂的？

本文導(dǎo)航

• 無窮級(jí)數(shù)基本概念
• 級(jí)數(shù)n的階乘分之一是收斂的嗎
• 級(jí)數(shù)n分之一為什么是發(fā)散
• 無窮級(jí)數(shù)從1開始和從0開始
• 級(jí)數(shù)n的n次方是發(fā)散還是收斂

無窮級(jí)數(shù)基本概念

第一個(gè)級(jí)數(shù) 稱為調(diào)和級(jí)數(shù) 利用微分中值定理 可以證明1/n>ln(1+1/n) (構(gòu)造y=lnx x在（n,n+1）)

級(jí)數(shù)1的部分和>ln（n+1）

第二個(gè)級(jí)數(shù) 無窮級(jí)數(shù)1/（n^2)<級(jí)數(shù)1/n(n+1) 后面的級(jí)數(shù) 分項(xiàng) 易證收斂

第三個(gè)級(jí)數(shù) 級(jí)數(shù) (1/n^3)<無窮級(jí)數(shù)1/（n^2) 利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較收斂準(zhǔn)則 易證收斂

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級(jí)數(shù)n的階乘分之一是收斂的嗎

首先對(duì)于p-級(jí)數(shù)∑1/n^p有很好的性質(zhì)：p≤1時(shí)發(fā)散，p>1時(shí)收斂。對(duì)于這種形式的級(jí)數(shù)，其是否收斂完全取決于一般項(xiàng)趨于0的速度，一般項(xiàng)趨于0的速度越快級(jí)數(shù)越有可能收斂，例如1/n^2比1/n趨于0的速度快（即n趨于無窮時(shí)1/n^2是比1/n更高階的無窮?。虼藀=1就是一個(gè)臨界點(diǎn)，因?yàn)槿魏伪?大的p都是收斂的，即調(diào)和級(jí)數(shù)∑1/n是p-級(jí)數(shù)中發(fā)散速度最慢的級(jí)數(shù)，事實(shí)上你可以自己計(jì)算一下調(diào)和級(jí)數(shù)的前幾項(xiàng)，它的增長速度是非常慢的，以至于直觀上觀察這個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)都想象不出增長如此慢的級(jí)數(shù)竟然會(huì)是發(fā)散的。另外關(guān)于調(diào)和級(jí)數(shù)還可以多說一點(diǎn)就是，它和對(duì)數(shù)函數(shù)lnx有著相同的階，即lim(1+1/2+...+1/n-lnn)存在，這個(gè)極限稱為歐拉常數(shù)，記作c=lim(1+1/2+...+1/n-lnn)，c約等于0.5772，關(guān)于這個(gè)歐拉常數(shù)c是否是無理數(shù)，至今無人能給出證明，這是一個(gè)“未解之謎”。

級(jí)數(shù)n分之一為什么是發(fā)散

記S[n]=1+1/2+...+1/n。假設(shè)它收斂到S。

可見，S[2n]=S[n]+1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n)>S[n]+1/(2n)+1/(2n)+...+1/(2n)

=S[n]+n/(2n)=S[n]+1/2.

兩邊讓n→∞得到S=S+1/2，無解。所以它是發(fā)散的。

無窮級(jí)數(shù)從1開始和從0開始

因?yàn)?/2乘以無窮大還是無窮大，所以級(jí)數(shù)發(fā)散。任何非零常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)都是發(fā)散的。

級(jí)數(shù)n的n次方是發(fā)散還是收斂

用積分判別法。

收斂級(jí)數(shù)（convergent series）是柯西于1821年引進(jìn)的，它是指部分和序列的極限存在的級(jí)數(shù)。收斂級(jí)數(shù)分條件收斂級(jí)數(shù)和絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)兩大類，其性質(zhì)與有限和（有限項(xiàng)相加）相比有本質(zhì)的差別，例如交換律和結(jié)合律對(duì)它不一定成立。

收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)主要有：級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù)后，它的收斂性不變；兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)逐項(xiàng)相加或逐項(xiàng)相減之后仍為收斂級(jí)數(shù)；在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)，不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性；原級(jí)數(shù)收斂，對(duì)此級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后所得的級(jí)數(shù)依然收斂；級(jí)數(shù)收斂的必要條件為級(jí)數(shù)通項(xiàng)的極限為0。

性質(zhì)

在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng)，不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性。

證明：我們只需證明“在級(jí)數(shù)的前面部分去掉、加上有限項(xiàng)，不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性”，因?yàn)槠渌樾危丛诩?jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng)的情形）都可以看成在級(jí)數(shù)的前面部分先去掉有限項(xiàng)，然后再加上有限項(xiàng)的結(jié)果。