什么是方陣的特征值 矩陣的特征值與特征向量的講解

如何求矩陣的特征值？例如下面的這個(gè)矩陣的特征值是什么？什么是非奇異矩陣?什么是矩陣的特征值?特征值的求解步驟是怎么樣的？什么是矩陣的特征值以及其物理意義？線性代數(shù)中矩陣的特征值的概念是什么？ 謝謝:-？矩陣的特征值和特征向量是什么？矩陣特征值是什么?怎么求？

本文導(dǎo)航

• 求矩陣特征值的技巧
• 對(duì)稱矩陣特征值的詳細(xì)求法
• 矩陣的特征值與特征向量的講解
• 線性代數(shù)五個(gè)特殊的矩陣
• 什么是矩陣的特征值及特殊向量
• 矩陣特征值的性質(zhì)證明詳細(xì)

求矩陣特征值的技巧

設(shè)m是n階方陣，

e是單位矩陣，

如果存在一個(gè)數(shù)λ使得

m-λe

是奇異矩陣（即不可逆矩陣，

亦即行列式為零），

那么λ稱為m的特征值。

　　特征值的計(jì)算方法n階方陣a的特征值λ就是使齊次線性方程組（a-λe）x=0有非零解的值λ，也就是滿足方程組｜a-λe｜=0的λ都是矩陣a的特征值。

你要求的那個(gè)設(shè)為a，經(jīng)過計(jì)算

a-me=

-1-m

，2

5/2

，3-m

（-1-m）（3-m）-5=0

（m+2）（m-4）=0

m1=-2；m2=4

這兩個(gè)就是特征值了。

對(duì)稱矩陣特征值的詳細(xì)求法

若n階矩陣A的行列式不為零,即

|A|≠0,則稱A為非奇異矩陣,否則稱A為奇異矩陣.

設(shè)

A

是n階方陣,如果存在數(shù)m和非零n維列向量 x,使得

Ax=mx

成立,則稱

m

是A的一個(gè)特征值.

Ax=mx,等價(jià)于求m,使得(mE-A)x=0,其中E是單位矩陣,0為零矩陣.

|mE-A|=0,求得的m值即為A的特征值.|mE-A|

是一個(gè)n次多項(xiàng)式,它的全部根就是n階方陣A的全部特征值,這些根有可能相重復(fù),也有可能是復(fù)數(shù).

矩陣的特征值與特征向量的講解

■ 對(duì)于一階微分方程組，分離出系數(shù)矩陣A，對(duì)A求特征值和特征向量，由P和Λ求得標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣 e??＝P e^(Λt)P?1，從而可求出一階微分方程組的函數(shù)解。

■ 一階微分方程組描述動(dòng)態(tài)電路時(shí)域解。有人說: 特征值＝電路頻率，此話欠正確。RLC串聯(lián)為例，電路由二個(gè)線性微分方程組描述，令RLC電路0激勵(lì)有初值。① 特征值為互異負(fù)實(shí)數(shù)(α、β)，它們是e的衰減指數(shù)，電路處于過阻尼態(tài): 特征值 ≠ 頻率。② 特征值為相同負(fù)實(shí)數(shù)，電路臨界阻尼態(tài): 特征值 ≠ 頻率。③ 特征值為二復(fù)數(shù)( α ± jβ )，α 表示e負(fù)指數(shù)；虛數(shù)β 表示振蕩頻率，雖說是二個(gè)虛數(shù) ( ± jβ )，實(shí)際頻率只有一個(gè)β，e^(jβ) 與 e^(-jβ) 對(duì)應(yīng) (Acosβt＋Bsinβt)，其中 β＝ω(頻率)。實(shí)系數(shù)高次方程根，如有復(fù)數(shù)根一定是共軛復(fù)數(shù)(二根)。

■ 振蕩頻率β是減幅振蕩頻率，β隨R變化而變化，β(R)＝f(R1，R2，··· ) 很神奇。β不同于諧振頻率，諧振頻率與R無關(guān): ωo＝1/√LC。

線性代數(shù)五個(gè)特殊的矩陣

什么是矩陣的特征值及特殊向量

n階方陣A，行列式|λE-A| [E是n階單位矩陣，λ是變量。這是λ的n次多項(xiàng)式，首項(xiàng)系數(shù)是1] 叫做A的特征多項(xiàng)式，[f（λ）＝|λE-A|].f（λ）＝0的根（n個(gè)），都叫A的特征值。

如果λ0是A的一個(gè)特征值，|λ0E-A|＝0，（λ0E-A）為降秩矩陣，線性方程組（λ0E-A）X＝0 [X＝（x1,x2,……xn）′是未知的n維列向量] 必有非零解，每個(gè)非零解就叫矩陣A的關(guān)于特征值λ0的一個(gè)特征向量。

旋轉(zhuǎn)矩陣（Rotation matrix）是在乘以一個(gè)向量的時(shí)候有改變向量的方向但不改變大小的效果的矩陣。旋轉(zhuǎn)矩陣不包括反演，它可以把右手坐標(biāo)系改變成左手坐標(biāo)系或反之。所有旋轉(zhuǎn)加上反演形成了正交矩陣的集合。

旋轉(zhuǎn)矩陣的原理在數(shù)學(xué)上涉及到的是一種組合設(shè)計(jì)：覆蓋設(shè)計(jì)。而覆蓋設(shè)計(jì)，填裝設(shè)計(jì)，斯坦納系，t-設(shè)計(jì)都是離散數(shù)學(xué)中的組合優(yōu)化問題。它們解決的是如何組合集合中的元素以達(dá)到某種特定的要求。

矩陣特征值的性質(zhì)證明詳細(xì)

如果僅知道矩陣的特征值是無法求它的逆矩陣仍，因?yàn)椴煌木仃嚳隙ㄓ胁煌哪婢仃?，但它們的特征值有可能相等。如矩陣[1,0;1,1]與二階單位矩陣的特征值相等都是1，但它們的逆矩陣不相等。