正交對角化是什么意思 什么是相似對角化

矩陣的正交對角化，什么是正交對角化？為什么正交矩陣能使矩陣化為對角陣？用正交變換化簡二次型與正交相似對角化有什么區(qū)別？正交矩陣相似對角化；可逆矩陣相似對角化；可對角化；這三者有什么區(qū)別？正交對角化和相似對角化的區(qū)別。

本文導(dǎo)航

• 一般矩陣對角化的步驟
• 什么叫矩陣正交化
• 對角矩陣為什么不是可逆矩陣
• 對角化與正交化的區(qū)別
• 如何判斷矩陣是否可以相似對角化
• 什么是相似對角化

一般矩陣對角化的步驟

將對稱矩陣正交對角化的方法：

1. 求出對稱矩陣A的特征值；

2. 由（AE ）x= 0 ，求出矩陣A對應(yīng)的特征的特征向量；

3. 將屬于的特征向量施密特正交化；

4. 將所有特征向量單位化。

什么叫矩陣正交化

將對稱矩陣正交對角化的方法：

1.求出對稱矩陣A的特征值；

2.由（AE ）x= 0 ,求出矩陣A對應(yīng)的特征的特征向量；

3.將屬于的特征向量施密特正交化；

4.將所有特征向量單位化.

對角矩陣為什么不是可逆矩陣

P^-1AP = 對角矩陣

正交對角化要求 P 是正交矩陣,即P可逆且 P^-1 = P^T

即是相似變換又是合同變換,用于二次型

可逆矩陣相似對角化

一般考慮的是方陣,并不要求方陣可逆,要求 P 可逆

可對角化就是A可相似對角化,即存在可逆矩陣P使得 P^-1AP = 對角矩陣

對角化與正交化的區(qū)別

n元二次型化標(biāo)準(zhǔn)形，具體解題步驟：

1、寫出二次型矩陣A

2、求矩陣A的特征值（λ1，λ2，...，λn）

3、求矩陣A的特征向量（α1，α2，...，αn）

4、改造特征向量(單位化、Schmidt正交化)γ1，γ2，...，γn

5、構(gòu)造正交矩陣P=(γ1，γ2，...，γn)

則經(jīng)過坐標(biāo)變換x=Py，得

xTAx=yTBy=λ1y12+λ2y22+...+λnyn2

相似對角化，具體解題步驟：

1、求矩陣A的特征值 （λ1，λ2，...，λs，設(shè)λi是ni重根）

2、求矩陣A的每一個特征值λi，求(λiE-A)x=0的基礎(chǔ)解系（設(shè)為Xi1，Xi2，...，Xini）

（上面兩步來判斷A是否可以對角化）

3、構(gòu)造P=(X11，X12，...，X1n1，X21，X22，...，X2n2，...，Xs1，Xs2，...，Xsns)，則

P-1AP=diag(λ1，...，λ1，λ2，...，λ2，...，λs，...，λs)

其中有ni個λi（i=1，2，...，s）

顯然易知二者的區(qū)別。

都是先求特征值，再特征向量。

正交變換，需要改造特征向量，使其滿足正交化的特征。

相似對角化可以直接用特征向量，對于實對稱矩陣相似的正交矩陣，則過程一樣。

實際上二次型是實對稱矩陣 ?。?！

二次型的正交化就是實對稱矩陣用正交矩陣把實對稱矩陣化為對角矩陣的過程。

它是一種特殊矩陣的相似化過程。

newmanhero 2015年6月12日22:07:56

希望對你有所幫助，望采納。

如何判斷矩陣是否可以相似對角化

P^-1AP =;對角矩陣。

正交對角化要求 P 是正交矩陣, 即P可逆且 P^-1 = P^T。即是相似變換又是合同變換, 用于二次型。

可逆矩陣相似對角化。一般考慮的是方陣, 并不要求方陣可逆, 要求 P 可逆。

可對角化就是A可相似對角化, 即存在可逆矩陣P使得 P^-1AP =;對角矩陣。

擴(kuò)展資料：

在矩陣論中，實數(shù)正交矩陣是方塊矩陣Q，它的轉(zhuǎn)置矩陣是它的逆矩陣，如果正交矩陣的行列式為+1，則稱之為特殊正交矩陣。

1.方陣A正交的充要條件是A的行（列）向量組是單位正交向量組；

2.方陣A正交的充要條件是A的n個行（列）向量是n維向量空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基；

3.A是正交矩陣的充要條件是：A的行向量組兩兩正交且都是單位向量；

4.A的列向量組也是正交單位向量組。

5.正交方陣是歐氏空間中標(biāo)準(zhǔn)正交基到標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣。

參考資料來源：百度百科-正交矩陣

什么是相似對角化

相似正交對角化的本質(zhì)就是相似對角化,它只是把相似對角化的變換矩陣中包含的特征向量單位化及正交化了而已.

如果A能對角化其對角相似矩陣一定是其特征值在對角線上排布組成的矩陣.不同的只是順序不同沒有本質(zhì)差別.

相似的一個重要充分條件就是兩個矩陣特征值相同.

兩個矩陣特征值對應(yīng)成比例是不相似的.根據(jù)定義兩邊再取行列式顯然不成立.