斯托克斯公式怎么用 請(qǐng)問大家關(guān)于高數(shù)中斯托克斯公式的理解，我有一個(gè)疑問

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• 斯托克斯公式好復(fù)雜，有什么用？
• 斯托克斯公式要求曲線封閉嗎
• 斯托克斯公式的理解問題
• 請(qǐng)問大家關(guān)于高數(shù)中斯托克斯公式的理解，我有一個(gè)疑問
• 高數(shù)題，用斯托克斯公式計(jì)算曲線積分
• 斯托克斯公式轉(zhuǎn)化

斯托克斯公式好復(fù)雜，有什么用？

1斯托克斯公式由于流體的粘滯性，固體在流體中運(yùn)動(dòng)會(huì)受到兩種阻力，一種是由于層流體附著在固體表面，層流體和鄰層流體間的內(nèi)摩擦力；另一種是為壓強(qiáng)阻力，壓強(qiáng)阻力的實(shí)質(zhì)是尾隨運(yùn)動(dòng)著的固體后面的流體中，有渦旋產(chǎn)生．固體相對(duì)于流體的速度小時(shí)渦旋還未形成，壓強(qiáng)阻力可被忽略，這時(shí)，阻力可視為只有前一種．半徑為r的球形物體，在粘滯系數(shù)為η的流體中，以速度v運(yùn)動(dòng)時(shí)，所受阻力為：f＝6πηrv（1）……………………………這就是斯托克斯公式．2斯托克斯公式的應(yīng)用實(shí)例例1，有一半徑為r，密度為ρ的小球，在密度為ρ（ρ＜ρ）、粘滯系數(shù)為η的靜止流體中下落，若所受阻力遵從斯托克斯公式，試求小球的最大速度．解：最初小球在重力G＝43πr3ρg和浮力F＝43πr3ρg的作用下加速下落，速度逐漸增加，阻力按式（1）逐漸增大，直到三力平衡（圖a）時(shí)速度達(dá)到最大，小球勻速下落．由平衡條件，得：F＋f＝G即43πr3ρg＋6πηrv0＝43πr3ρg故v0＝29（ρ－ρ）ηgr2（2）

斯托克斯公式要求曲線封閉嗎

光滑曲面S的邊界L是按段光滑的連續(xù)曲線，若函數(shù)P，Q，R在S（連同L）上連續(xù)，且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則斯托克斯公式成立。

斯托克斯公式的理解問題

我不知道你想問什么，因?yàn)樗蟹e分的值都與坐標(biāo)系無關(guān)，那是因?yàn)橛兴^的“微分的形式不變性”，或者講“換元法”。換元法說的就是一個(gè)坐標(biāo)內(nèi)的積分，可以在另一個(gè)（微分等價(jià)的）坐標(biāo)內(nèi)來做。

而旋度也是與坐標(biāo)無關(guān)的定義，雖然在有坐標(biāo)的時(shí)候，它按照坐標(biāo)來定義，但是不管你怎么定義，對(duì)E^3的向量場(chǎng)X，設(shè)和它對(duì)偶的一次形式場(chǎng)為w，也就是w(Y)

=

，dw是二次形式場(chǎng)，設(shè)Z是和*dw(*是Hodge

star

operator)對(duì)偶的那個(gè)向量場(chǎng)，那么Z就是X的旋度。你可以驗(yàn)證下這個(gè)定義和一般基于坐標(biāo)的定義一致，并且滿足上面給的方程（實(shí)際上上面給的方程也用來定義旋度）。這些定義都是不依賴于坐標(biāo)的，也就是說，旋度是幾何量。

不知道這是不是你要問的。

更具體一點(diǎn)：

設(shè)

w

是

與

F

對(duì)偶的一次形式場(chǎng)，用

\int_C

記在封閉路徑

C

上的線積分，\int_S

是在曲面

S

上的面積分。ds

是

C

上的線元，dS

是

S

上的面元。i

:

C

->

E^3

是包含映射,

i^*是回拉。T

是

C

上的單位切向量，n

是

S

上的單位外法向量。

那么左邊

\int_C

=

\int_C

<

F,

T*ds>

=

\int_C

ds

=

\int_C

w(T)

ds

注意到

(i^*)(w)(T)

=

w(T)

=

w(T)*ds(T)

所以

(i^*)(w)

=

w(T)ds

這個(gè)式子說，w

在

C

上的限制，等于w(T)ds

所以上面的積分

\int_C

w(T)

ds

=

\int_C

(i^*)(w)

（由

Stokes

公式）

=

\int_S

dw

記

curlF

是

F

的旋度，則

=

(*dw)(n)

對(duì)任意S上一點(diǎn)的單位正交切向量X,

Y,

dS(X,Y)=1

所以

dS

(

X,Y)

=

=

(*dw)(n)

=

dw(X,

Y)

所以

dS

=

dw

所以上面的積分等于右邊。

請(qǐng)問大家關(guān)于高數(shù)中斯托克斯公式的理解，我有一個(gè)疑問

還是那句話，你要學(xué)會(huì)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)財(cái)⑹鰡栴}，只有把問題講清楚了才能解決。

當(dāng)然我大致能估計(jì)出你想問什么，Stokes公式中曲面的選取確實(shí)是任意的，三樓的講法大體上是對(duì)的。我可以稍微補(bǔ)充幾點(diǎn)。

1.

曲面的側(cè)確實(shí)很重要，曲面積分本身需要建立在定向曲面上，而曲面的側(cè)也決定了曲線積分的方向。

2.

兩片公用邊界的曲面S1和S2確實(shí)可以認(rèn)為構(gòu)成封閉曲面（此時(shí)應(yīng)該理解成S1和反向的S2構(gòu)成封閉曲面），不過這個(gè)曲面及其內(nèi)部區(qū)域的結(jié)構(gòu)可能會(huì)非常復(fù)雜，即使那S1和S2本身的光滑性都很好。

如果需要使用對(duì)區(qū)域要求比較高的Gauss公式，那么很多時(shí)候有必要借助第三片曲面S3，使得S3和S1僅在邊界相交，S3和S2也僅在邊界相交，這樣就可以使用較強(qiáng)要求的Gauss公式來證明了。被積函數(shù)確實(shí)是0，你自己驗(yàn)證，不要偷懶。

不過話說回來，即便是引入S3來解決區(qū)域結(jié)構(gòu)的問題，其嚴(yán)謹(jǐn)性仍然是比較大的問題，因?yàn)檫@個(gè)看似顯然的幾何事實(shí)實(shí)際上很難證明（可以參考Jordan曲線定理的證明難度），所以我認(rèn)為Gauss公式用在這里可以幫助理解，但最好不要用來作為推理依據(jù)，推理還是直接用Stokes公式比較好。

3.

根據(jù)曲面積分的物理意義也可以理解為什么積分值曲面的選取方式無關(guān)。

第二類曲面積分本身于來源不可壓縮流體在單位時(shí)間內(nèi)通過某定向曲面的流量，從這個(gè)物理意義上看流量確實(shí)是由曲面的邊界（即一條簡單閉曲線）決定的，當(dāng)然物理意義也只能用來幫助理解，不要作為推理依據(jù)。

高數(shù)題，用斯托克斯公式計(jì)算曲線積分

按照原題是∮ydx+zdy+xdz來做：

把斯托克斯公式中的各個(gè)對(duì)象對(duì)號(hào)入座：其中

①P=y，Q=z，R=x，

②積分曲面∑就取X+y+z=0與X2+y2+z2=a2的交線所圍的平面，

③注意Q對(duì)z的偏導(dǎo)數(shù)=1，R對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)=1，P對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)=1，其他3個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都=0

則套用斯托克斯公式得到原曲線積分∮ydx+zdy+xdz=∫∫【∑上】dydz+dzdx+dxdy

把上式右邊對(duì)坐標(biāo)的曲面積分化成對(duì)面積的曲面積分=∫∫【∑上】（cosα+cosβ+cosγ）dS

其中cosα，cosβ，cosγ就是平面X+y+z=0的指向右上方向的方向余弦，cosα=cosβ=cosγ=1/√3

于是∫∫【∑上】（cosα+cosβ+cosγ）dS=√3∫∫【∑上】dS=√3*（∑的面積）

∑的面積=∏a2，故√3*∏a2為所求原曲線積分的值。

斯托克斯公式轉(zhuǎn)化

斯托克斯公式就是將曲面 的曲面積分與沿曲面 的邊界閉曲線 的曲線積分聯(lián)系起來,而高斯公式給出了空間閉區(qū)域的三重積分與其邊界閉曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.

化成了三重積分就可以用投影法解決呀.

夾角的+—是的法向量與坐標(biāo)軸為銳角取+,否則取-,

區(qū)域封閉不封閉,是給的已知條件.

對(duì)于封閉的區(qū)域也可以用第二解法利用曲線與曲面積分的聯(lián)系計(jì)算來做,不過用第二種方法來做一定要把題目中的每一個(gè)面都考慮.

建議看看同濟(jì)大學(xué)版的《高等數(shù)學(xué)》,