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本文導(dǎo)航

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• 斂散性判斷方法
• 求判斷級數(shù)斂散性
• 級數(shù)求斂散性，詳細(xì)過程謝謝

求級數(shù)的斂散性（詳細(xì)步驟）

1. ρ = lim<n→∞>a<n+1>/a<n> = lim<n→∞>3^(n+1) n!/[(n+1)! 3^n]

= lim<n→∞>3/(n+1) = 0, 級數(shù)收斂。

2. ρ = lim<n→∞>a<n+1>/a<n>

= lim<n→∞>2^(n+1)(n+1)! n^n/[(n+1)^(n+1) 2^n n!]

= lim<n→∞>2 n^n/[(n+1)^n] = lim<n→∞>2/[(1+1/n)^n] = 2/e <1,

級數(shù)收斂。

求級數(shù)的斂散性

Step 1

首先，拿到一個數(shù)項級數(shù)，我們先判斷其是否滿足收斂的必要條件：

若數(shù)項級數(shù)收斂，則 n→+∞ 時，級數(shù)的一般項收斂于零。

（該必要條件一般用于驗證級數(shù)發(fā)散，即一般項不收斂于零。）

Step 2

若滿足其必要性。接下來，我們判斷級數(shù)是否為正項級數(shù)：

若級數(shù)為正項級數(shù)，則我們可以用以下的三種判別方法來驗證其是否收斂。（注：這三個判別法的前提必須是正項級數(shù)。）

Step 2”三種判別法

1.比較原則；

2.比式判別法，（適用于含 n！ 的級數(shù)）；

3.根式判別法，（適用于含 n次方 的級數(shù)）；

（注：一般能用比式判別法的級數(shù)都能用根式判別法）

Step 3

若不是正項級數(shù)，則接下來我們可以判斷該級數(shù)是否為交錯級數(shù)：

Step 4

若不是交錯級數(shù)，我們可以再來判斷其是否為絕對收斂的級數(shù)：

6

Step 5

如果既不是交錯級數(shù)又不是正項級數(shù)，則對于這樣的一般級數(shù)，我們可以用阿貝爾判別法和狄利克雷判別法來判斷。

怎么判斷斂散性

先判斷這是正項級數(shù)還是交錯級數(shù)

　　一、判定正項級數(shù)的斂散性

　　1.先看當(dāng)n趨向于無窮大時，級數(shù)的通項是否趨向于零（如果不易看出，可跳過這一步）。若不趨于零，則級數(shù)發(fā)散；若趨于零，則

　　2.再看級數(shù)是否為幾何級數(shù)或p級數(shù)，因為這兩種級數(shù)的斂散性是已知的，如果不是幾何級數(shù)或p級數(shù)，則

　　3.用比值判別法或根值判別法進(jìn)行判別，如果兩判別法均失效，則

　　4.再用比較判別法或其極限形式進(jìn)行判別，用比較判別法判別，一般應(yīng)根據(jù)通項特點猜測其斂散性，然后再找出作為比較的級數(shù)，常用來作為比較的級數(shù)主要有幾何級數(shù)和p級數(shù)等。

　　二、判定交錯級數(shù)的斂散性

　　1.利用萊布尼茨判別法進(jìn)行分析判定。

　　2.利用絕對級數(shù)與原級數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行判定。

　　3.一般情況下，若級數(shù)發(fā)散，級數(shù)未必發(fā)散；但是如果用比值法或根值法判別出絕對級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)必發(fā)散。

　　4.有時可把級數(shù)通項拆分成兩個，利用“收斂+發(fā)散=發(fā)散”“收斂+收斂=收斂”判定。

　　三、求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域

　　1.若級數(shù)冪次是按x的自然數(shù)順序遞增，則其收斂半徑由或求出，進(jìn)而可以寫出收斂區(qū)間，再考慮區(qū)間端點處數(shù)項級數(shù)的斂散性可得冪級數(shù)的收斂域。

　　2.對于缺項冪級數(shù)或x的函數(shù)的冪級數(shù)，可根據(jù)比值判別法求收斂半徑，也可作代換，換成t的冪級數(shù)，再求收斂半徑。

　　四、求冪級數(shù)的和函數(shù)與數(shù)項級數(shù)的和

　　1.求冪級數(shù)的和函數(shù)主要先通過冪級數(shù)的代數(shù)運算、逐項微分、逐項積分等性質(zhì)將其化為幾何級數(shù)的形式，再求和。

　　2.求數(shù)項級數(shù)的和，可利用定義求出部分和，再求極限；或轉(zhuǎn)化為冪級數(shù)的和函數(shù)在某點的函數(shù)值。

　　五、將函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)

　　將函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)時需根據(jù)已有公式求出傅里葉系數(shù)，這時可根據(jù)函數(shù)的奇偶性簡化系數(shù)的計算，然后再根據(jù)收斂性定理寫出函數(shù)與其傅里葉級數(shù)之間的關(guān)系。

斂散性判斷方法

先判斷這是正項級數(shù)還是交錯級數(shù)

　　一、判定正項級數(shù)的斂散性

　　1.先看當(dāng)n趨向于無窮大時,級數(shù)的通項是否趨向于零（如果不易看出,可跳過這一步）.若不趨于零,則級數(shù)發(fā)散；若趨于零,則

　　2.再看級數(shù)是否為幾何級數(shù)或p級數(shù),因為這兩種級數(shù)的斂散性是已知的,如果不是幾何級數(shù)或p級數(shù),則

　　3.用比值判別法或根值判別法進(jìn)行判別,如果兩判別法均失效,則

　　4.再用比較判別法或其極限形式進(jìn)行判別,用比較判別法判別,一般應(yīng)根據(jù)通項特點猜測其斂散性,然后再找出作為比較的級數(shù),常用來作為比較的級數(shù)主要有幾何級數(shù)和p級數(shù)等.

　　二、判定交錯級數(shù)的斂散性

　　1.利用萊布尼茨判別法進(jìn)行分析判定.

　　2.利用絕對級數(shù)與原級數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行判定.

　　3.一般情況下,若級數(shù)發(fā)散,級數(shù)未必發(fā)散；但是如果用比值法或根值法判別出絕對級數(shù)發(fā)散,則級數(shù)必發(fā)散.

　　4.有時可把級數(shù)通項拆分成兩個,利用“收斂+發(fā)散=發(fā)散”“收斂+收斂=收斂”判定.

　　三、求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域

　　1.若級數(shù)冪次是按x的自然數(shù)順序遞增,則其收斂半徑由或求出,進(jìn)而可以寫出收斂區(qū)間,再考慮區(qū)間端點處數(shù)項級數(shù)的斂散性可得冪級數(shù)的收斂域.

　　2.對于缺項冪級數(shù)或x的函數(shù)的冪級數(shù),可根據(jù)比值判別法求收斂半徑,也可作代換,換成t的冪級數(shù),再求收斂半徑.

　　四、求冪級數(shù)的和函數(shù)與數(shù)項級數(shù)的和

　　1.求冪級數(shù)的和函數(shù)主要先通過冪級數(shù)的代數(shù)運算、逐項微分、逐項積分等性質(zhì)將其化為幾何級數(shù)的形式,再求和.

　　2.求數(shù)項級數(shù)的和,可利用定義求出部分和,再求極限；或轉(zhuǎn)化為冪級數(shù)的和函數(shù)在某點的函數(shù)值.

　　五、將函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)

　　將函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)時需根據(jù)已有公式求出傅里葉系數(shù),這時可根據(jù)函數(shù)的奇偶性簡化系數(shù)的計算,然后再根據(jù)收斂性定理寫出函數(shù)與其傅里葉級數(shù)之間的關(guān)系.

求判斷級數(shù)斂散性

1、求判斷級數(shù)斂散性的詳解見上圖。

2、判斷級數(shù)斂散性，求的詳解的第一步：

將級數(shù)的一般項進(jìn)行放大。

3、判斷級數(shù)斂散性，求的詳解的第二步：

對第一步放大部分，對應(yīng)級數(shù)用正項級數(shù)的根值法，判斷是發(fā)散的。

4、判斷級數(shù)斂散性，求的詳解的第三步：

再用正項級數(shù)的比較判斷法知，原級數(shù)是絕對收斂。

5、此級數(shù)判斷級數(shù)斂散性：是收斂的且絕對收斂。

級數(shù)求斂散性，詳細(xì)過程謝謝

(-1)^(3n+1)=(-1)^(n+1)，因此這兩個都是交錯級數(shù)，只相差一個負(fù)號，是條件收斂，是交錯級數(shù)。用萊布尼茲判別法，一般項單調(diào)下降趨于0，所以收斂。