曲線曲面積分求的什么 二重積分和第一型曲面積分的區(qū)別
曲線曲面積分的意義及其與重積分的關(guān)系，曲線和曲面積分是什么？二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分的意義都是什么？曲線積分和曲線長(zhǎng)度的關(guān)系是什么？曲面積分和曲面面積的關(guān)系是什么？曲線曲面積分的計(jì)算，說一下曲面積分，二重積分，三重積分，曲線積分分別有什么意義？
本文導(dǎo)航
曲線積分和普通積分的區(qū)別
首先推薦你看看美國(guó)人寫的《托馬斯微積分》(有中文版)，論述清晰直觀，很易看懂，絕對(duì)對(duì)你有幫助。
第一類曲線積分本質(zhì)上就是在曲線上對(duì)標(biāo)量求和。
例如：設(shè)有一曲線形構(gòu)件占xOy面上的一段曲線 ，設(shè)構(gòu)件的質(zhì)量分布函數(shù)為ρ(x,y)，設(shè)ρ(x,y)定義在L上且在L上連續(xù)，求構(gòu)件的質(zhì)量。對(duì)于密度均勻的物件可以直接用ρS求得質(zhì)量；
對(duì)于密度不均勻的物件，就需要用到曲線積分,每小段曲線的質(zhì)量為dm=ρ(x,y)ds;對(duì)其求和，所以m=∫ρ(x,y)ds;L是積分路徑，∫ρ(x,y)ds就叫做對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分。
第二類曲線積分本質(zhì)上就是在曲線上對(duì)矢量的投影求和。
典型的例子就是力的做功。這個(gè)你自己在書上找例子吧，用文字難說清。
第一類曲面積分本質(zhì)上就是在曲面上對(duì)標(biāo)量求和。
例子：設(shè)有一構(gòu)件占空間曲面∑，其質(zhì)量分布密度函數(shù)為(密度分布)ρ（x,y,z），求構(gòu)件的質(zhì)量。
同樣，對(duì)于密度不均勻的物件，也不可以直接利用ρS（這里的S代表的是面積,下同）處理問題的思想方法類似于“分布在平面區(qū)域的質(zhì)量問題，就需要利用曲面積分”；
每小片的質(zhì)量dm=ρ（x,y,z）*ds；其和：m=∫ρ（x,y,z）*ds，就是對(duì)面積的曲面積分。
第二類曲面積分本質(zhì)上就是在曲面上對(duì)矢量的投影求和。
典型的例子就是求電力線的“通量”，這個(gè)也請(qǐng)你自己在書上找例子吧，用文字難說清。
重積分是計(jì)算上述各積分的手段。上述各積分的求解都要化為一個(gè)重積分問題，再對(duì)其進(jìn)行計(jì)算。
祝你考研成功?。?！
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曲面積分的上下側(cè)怎么計(jì)算
這是微積分的一部分
分為第一型曲線積分 第一型曲面積分
和第二型曲線積分 和第二型曲面積分
其中設(shè)計(jì)的有GREEN 公式 和GAUSS公式 還有 STOKES公式
這是高等數(shù)學(xué)微積分中的課程
通過曲線積分，人們就可以通過計(jì)算而得到曲線所圍的面積；通過曲面積分，人們就可以通過計(jì)算而得到曲面所圍的體積?？傊?，就是為了求得其面積和體積，這就是其實(shí)際意義
二重積分曲面的面積公式推導(dǎo)
lz首先要知道，積分的意義就是求和。
舉個(gè)物理上的例子，比如要求總電荷，需要知道電荷分布f（r）。
如果是分布在一個(gè)平面上的，就是二重積分r可以用x，y表示。
如果是一個(gè)空間分布，就是三重積分。
對(duì)于曲線積分就是圍繞一個(gè)路徑求和，重新?lián)Q個(gè)例子。比如一條密度不均勻的繩子要求它的總質(zhì)量。就是一個(gè)曲線積分了。
這些都要自己體會(huì)的。
曲面面積積分公式
假設(shè)曲線為L(zhǎng),且長(zhǎng)度為y，那么長(zhǎng)度y=∫ds ，長(zhǎng)度也就是第一類曲線積分y=∫f(x,y)ds 在f(x,y)=1時(shí)候的值。（注：當(dāng)f(x,y)≠1，則表示以這條曲線L為準(zhǔn)線的柱面的面積，且這個(gè)柱面的高就是h=f(x,y)）
同理，假設(shè)曲面的面積為S，那么S=∫∫ds, 也就是第一類曲面積分S=∫∫f(x,y,z)ds 在f(x,y,z)=1 時(shí)候的值。
第一型曲線積分的計(jì)算方法
從概念上講，第一類的，都是和方向無關(guān)的，對(duì)標(biāo)量的積分。第二類的，都是和方向有關(guān)的，對(duì)某種意義上的矢量的積分。具體地說：第一類曲線積分是對(duì)長(zhǎng)度的積分，第二類曲線積分是對(duì)坐標(biāo)的積分，講究曲線上演某方向的變化了。第一類區(qū)面積分，是對(duì)面積的積分，第二類區(qū)面積分是對(duì)二維坐標(biāo)的積分，強(qiáng)調(diào)面積朝向某側(cè)的情況。 從計(jì)算上講，第一類的計(jì)算要求出長(zhǎng)度或者面積微元的表示式，因此計(jì)算公式似乎復(fù)雜，但是記住公式之后，因?yàn)椴挥每紤]方向，因此實(shí)際上簡(jiǎn)單。第二類的，不用考慮微元的表示式，直接就是對(duì)坐標(biāo)積分，形式上簡(jiǎn)單，不過，在具體到某個(gè)線或者面的時(shí)候，要考慮是否要根據(jù)方向的變化分成不同的小段，在每個(gè)方向一致的小段上，還要考慮正負(fù)號(hào)，是否為零等等，實(shí)際上相對(duì)麻煩許多。 關(guān)于這兩類積分（實(shí)際上是四類，不過我的稱呼是分別針對(duì)面，線來說）實(shí)際上都有統(tǒng)一的公式。兩類曲線積分可以通過方向余弦實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一。兩類區(qū)面積分可以通過切面的法向量方向余弦實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一。 此處的學(xué)習(xí)重點(diǎn)除了上述內(nèi)容之外，要特別注意 格林公式，高斯公式，斯托克斯公式，拉普拉斯算子，拉普拉斯反算子。這些在某些專業(yè)中應(yīng)用更廣泛。
二重積分和第一型曲面積分的區(qū)別
lz首先要知道，積分的意義就是求和。
舉個(gè)物理上的例子，比如要求總電荷，需要知道電荷分布f（r）。
如果是分布在一個(gè)平面上的，就是二重積分r可以用x，y表示。
如果是一個(gè)空間分布，就是三重積分。
對(duì)于曲線積分就是圍繞一個(gè)路徑求和，重新?lián)Q個(gè)例子。比如一條密度不均勻的繩子要求它的總質(zhì)量。就是一個(gè)曲線積分了。
這些都要自己體會(huì)的。
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