不等式的定理怎么證明 不等式的基本定理如何證明

不等式證明怎么學(xué)？不等式的基本定理如何證明？怎么證明托勒密不等式？怎樣用同倫不等式證明？絕對值三角不等式定理證明過程，求解析，高中數(shù)學(xué)不等式證明的八種方法。

本文導(dǎo)航

• 不等式證明怎么學(xué)？
• 不等式的基本定理如何證明
• 怎么證明托勒密不等式
• 怎樣用同倫不等式證明？
• 絕對值三角不等式定理證明過程，求解析
• 高中數(shù)學(xué)代數(shù)不等式證明例題

不等式證明怎么學(xué)？

解一元二次不等式:概念含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2次的的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0(a不等于0),其中ax^2+bx+c實數(shù)域上的二次三項式。

一元二次不等式的解法 1）當(dāng)V("V"表示判別是，下同）=b^2-4ac>=0時，二次三項式，ax^2+bx+c有兩個實根，那么ax^2+bx+c總可分解為a(x-x1)(x-x2)的形式。這樣，解一元二次不等式就可歸結(jié)為解兩個一元一次不等式組。一元二次不等式的解集就是這兩個一元一次不等式組的解集的并集。

還是舉個例子吧。

2x^2-7x+6<0

利用十字相乘法

2 －3

1 －2

得（2x-3)(x-2)<0

然后，分兩種情況討論：

一、2x-3<0，x-2>0

得x<1.5且x>2。不成立

二、2x-3>0，x-2<0

得x>1.5且x<2。

得最后不等式的解集為：1.5<x<2。

另外，你也可以用配方法解二次不等式：

2x^2-7x+6

=2(x^2-3.5x)+6

=2(x^2-3.5x+3.0625-3.0625)+6

=2(x^2-3.5x+3.0625)-6.125+6

=2(x-1.75)^2-0.125<0

2(x-1.75)^2<0.125

(x-1.75)^2<0.0625

兩邊開平方，得

x-1.75<0.25且x-1.75>-0.25

x<2且x>1.5

得不等式的解集為1.5<x<2

若（a-1）X>-a+1的解集是x<-1則a的取值范圍是__

已知不等式4x-a大于或等于0的正整數(shù)解是1,2,則a的取值范圍是__

若不等式1/3(x-m)>2-m的解集為x>2則m的取值范圍是__

不等式(a-2)x>1的解集為x>1/a-2,則a的取值范圍是__

如果a<2,那么不等式ax>2x+5的解集為__

已知方程x+b=5的解為負(fù)數(shù)則b的取值范圍是__

若不等式2-mx>5-2x的解集是x<3/2-m,則m的取值范圍是__

若不等式x+2>m的解集為-1<x<2,則m的取值范圍是_

x-1<n

方程組x+y=1的解為x,y,且x>0,y<0則a的取值范圍是-

x-y=2a

不等式的基本定理如何證明

a+b≥2√ab

∵（a+b）2=a2+2ab+b2

（2√ab）2=4ab

a2+2ab+b2-4ab=a2-2ab+b2=（a-b）2≥0

∵√ab≥0

∴a+b≥2√ab

怎么證明托勒密不等式

托勒密定理

托勒密(Ptolemy，約公元85~165年)是古代天文學(xué)的集大成者.一般幾何教科書中的“托勒密定理”(圓內(nèi)接四邊形的對邊積之和等于對角線之積)，實出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是從他的書中摘出。從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì).

定理

如果四邊形內(nèi)接于圓，那么它的兩對對邊的乘積之和等于它的對角線的乘積.

證

設(shè)四邊形ABCD有外接圓O，AC和BD相交于P，∠CPD=α(圖3-107).若四邊形ABCD的四邊都相等，則四邊形ABCD為圓內(nèi)接菱形，即正方形，結(jié)論顯然成立.若四邊不全相等，不失一般性，設(shè)

‖BD，于是△ABD≌△EDB，從而AD=BE.

又

而

S四邊形ABCD=S四邊形BCDE，

所以

即

(AD×BC+AB×CD)sin∠EBC=AC×BD×sinα.

由于

∠α=∠DAC+∠ADB=∠DBC+∠EBD=∠EBC，

所以

AD×BC+AB×CD=AC×BD.

說明

(1)托勒密定理可以作如下推廣:“在凸四邊形ABCD中，

AB×CD+AD×BC≥AC×BD.

當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形時，等號成立.”

由此可知，托勒密定理的逆定理也成立.

(2)托勒密定理的證明方法很多，這里采用的是面積證法.還可采用相似三角形或余弦定理證明，請讀者自行完成.

怎樣用同倫不等式證明？

比較法

比較法是證明不等式的最基本方法，具體有"作差"比較和"作商"比較兩種?；舅枷胧前央y于比較的式子變成其差與0比較大小或其商與1比較大小。當(dāng)求證的不等式兩端是分項式（或分式）時，常用作差比較，當(dāng)求證的不等式兩端是乘積形式（或冪指數(shù)式時常用作商比較）

例1已知a+b≥0，求證：a3+b3≥a2b+ab2

分析：由題目觀察知用"作差"比較，然后提取公因式，結(jié)合a+b≥0來說明作差后的正或負(fù)，從而達(dá)到證明不等式的目的，步驟是10作差20變形整理30判斷差式的正負(fù)。

∵（a3+b3)(a2b+ab2)

=a2(a-b)-b2(a-b)

=(a-b)(a2-b2)

證明： =(a-b)2(a+b)

又∵(a-b)2≥0a+b≥0

∴(a-b)2(a+b)≥0

即a3+b3≥a2b+ab2

例2 設(shè)a、b∈R+，且a≠b，求證：aabb＞abba

分析：由求證的不等式可知，a、b具有輪換對稱性，因此可在設(shè)a＞b＞0的前提下用作商比較法，作商后同"1"比較大小，從而達(dá)到證明目的，步驟是：10作商20商形整理30判斷為與1的大小

證明：由a、b的對稱性，不妨解a＞b＞0則

aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b

∵ab0，∴ab1，a-b0

∴(ab)a-b(ab)0=1即aabbabba＞1，又abba＞0∴aabb＞abba

練習(xí)1 已知a、b∈R+，n∈N，求證（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1）

基本不等式法

利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及 變形有：

（1）若a、b∈R，則a2+b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取等號）

（2）若a、b∈R+，則a+b≥ 2ab （當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取等號）

（3）若a、b同號，則 ba+ab≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取等號）

例3 若a、b∈R， ｜a｜≤1，｜b｜≤1則a1-b2+b1-a2≤1

分析：通過觀察可直接套用： xy≤x2+y22

證明： ∵a1-b2b1-a2≤a2+(1-b2)2+b2-(1-a2)2=1

∴b1-a2+a1-b2≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a1+b2=1時，等號成立

練習(xí)2：若 ab0，證明a+1(a-b)b≥3

綜合法

綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式性質(zhì)推算出要證明不等式。

例4，設(shè) a0，b0，a+b=1，證明:(a+1a)2+(B+1b)2≥252

證明：∵ a0，b0，a+b=1

∴ab≤14或1ab≥4

左邊=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+［(a+b)2-2ab］+(a+b)2-2aba2b2

=4+(1-2ab)+1-2aba2b2≥4+(1-12)+8=252

練習(xí)3：已知a、b、c為正數(shù)，n是正整數(shù)，且f (n)=1gan+bn+cn3

求證：2f（n）≤f（2n）

分析法

從理論入手，尋找命題成立的充分條件，一直到這個條件是可以證明或已經(jīng)證明的不等式時，便可推出原不等式成立，這種方法稱為分析法。

例5：已知a0，b0，2ca+b，求證：c-c2-ab＜a＜c+c2-ab

分析：觀察求證式為一個連鎖不等式，不易用比較法，又據(jù)觀察求證式等價于 ｜a-c｜＜c2-ab也不適用基本不等式法，用分析法較合適。

要證c-c2-ab＜a＜c+c2-ab

只需證-c2-ab＜a-c＜c2-ab

證明： 即證 ｜a-c｜＜c2-ab

即證 (a-c)2＜c2-ab

即證 a2-2ac＜-ab

∵a＞0，∴即要證 a-2c＜-b 即需證2+b＜2c，即為已知

∴ 不等式成立

練習(xí)4：已知a∈R且a≠1，求證：3（1+a2+a4）＞（1+a+a2）2

放縮法

放縮法是在證明不等式時，把不等式的一邊適當(dāng)放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明不等式，是證明不等式的重要方法，技巧性較強常用技巧有：（1）舍去一些正項（或負(fù)項），（2）在和或積中換大（或換?。┠承╉?，（3）擴大（或縮小）分式的分子（或分母）等。

例6：已知a、b、c、d都是正數(shù)

求證： 1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2

分析：觀察式子特點，若將4個分式商為同分母，問題可解決，要商同分母除通分外，還可用放縮法，但通分太麻煩，故用放編法。

證明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＞ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1

又由ab＜a+mb+m(0＜a＜b，m＞0)可得：ba+b+c＜b+da+b+c+dcb+c+d＜c+aa+b+c+ddc+d+a＜d+bc+d+a+dad+a+b＜a+ca+b+c+d

∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜b+da+b+c+d+c+aa+b+c+d+d+bc+d+a+d+a+ca+b+c+d=2(a+b+c+c)a+b+c+d=2

綜上知：1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2

練習(xí)5：已知：a＜2，求證：loga(a+1)＜1

6換元法

換元法是許多實際問題解決中可以起到化難為易，化繁為簡的作用，有些問題直接證明較為困難，若通過換元的思想與方法去解就很方便，常用于條件不等式的證明，常見的是三角換元。

(1)三角換元：

是一種常用的換元方法，在解代數(shù)問題時，使用適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)進(jìn)行換元，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成三角問題，充分利用三角函數(shù)的性質(zhì)去解決問題。

例7、若x、y∈R+,且 x-y=1 A=(x-1y)(y+1y)。1x，求證0＜A＜1

證明： ∵x，y∈R+， 且x-y=1，x=secθ ， y=tanθ ，（0＜θ＜xy ）

∴ A=(secθ-1secθ(tanθ+1tanθ·1sec2θ

=1-cos2θcosθ·s2m2θ+cos2θcosθ·s2mθ·cos2θ

=sinθ

∵0＜θ＜x2，∴ 0＜s2mθ ＜1因此0＜A＜1

復(fù)習(xí)6：已知1≤x2+y2≤2，求證：12 ≤x2-xy+y2≤3

(2)比值換元：

對于在已知條件中含有若干個等比式的問題，往往可先設(shè)一個輔助未知數(shù)表示這個比值，然后代入求證式，即可。

例8：已知 x-1=y+12=z-23，求證：x2+y2+z2≥4314

證明：設(shè)x-1=y+12=z-23=k

于是x=k+1，y=zk-1，z=3k+2

把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k-1)2+(3k+2)2

=14(k+514)2+4314≥4314

反證法

有些不等式從正面證如果不好說清楚，可以考慮反證法，即先否定結(jié)論不成立，然后依據(jù)已知條件以及有關(guān)的定義、定理、公理，逐步推導(dǎo)出與定義、定理、公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結(jié)論，從而肯定原有結(jié)論是正確的，凡是"至少"、"唯一"或含有否定詞的命題，適宜用反證法。

例9：已知p3+q3=2，求證：p+q≤2

分析：本題已知為p、q的三次 ，而結(jié)論中只有一次 ，應(yīng)考慮到用術(shù)立方根，同時用放縮法，很難得證，故考慮用反證法。

證明：解設(shè)p+q＞2，那么p＞2-q

∴p3＞（2-q）3=8-12q+6q2-q3

將p3+q3 =2，代入得 6q2-12q+6＜0

即6（q-1）2＜0 由此得出矛盾 ∴p+q≤2

練習(xí)7：已知a+b+c＞0，ab+bc+ac＞0，abc＞0.

求證：a＞0，b＞0，c＞0

數(shù)學(xué)歸納法

與自然數(shù)n有關(guān)的不等式，通?？紤]用數(shù)學(xué)歸納法來證明。用數(shù)學(xué)歸納法證題時的兩個步驟缺一不可。

例10：設(shè)n∈N，且n＞1,求證： (1+13)(1+15)…(1+12n-1)＞2n+12

分析：觀察求證式與n有關(guān)，可采用數(shù)學(xué)歸納法

證明：（1）當(dāng)n=2時，左= 43，右=52

∵43＞52∴不等式成立

（2）假設(shè)n=k(k≥2，k∈n)時不等式成立，即（1+13）（1+15）…（1+12k-1)＞2k+12

那么當(dāng)n=k+1時，(1+13)(1+15)…(1+12k-1)(1+12k+1)＞2k+12·(1+12k+1)①

要證①式左邊＞ 2k+32，只要證2k+12·

2k+22k+1＞2k+32②

對于②〈二〉2k+2＞ 2k+1·2k+3

〈二〉(2k+2)2＞ (2k+1)(2k+3)

〈二〉4k2+8k+4＞ 4k2+8k+3

〈二〉4＞3 ③

∵③成立 ∴②成立，即當(dāng)n=k+1時，原不等式成立

由（1）（2）證明可知，對一切n≥2（n∈N），原不等式成立

練習(xí)8：已知n∈N，且n＞1，求證： 1n+1+1n+2+…+12n＞ 1324

構(gòu)造法

根據(jù)求證不等式的具體結(jié)構(gòu)所證，通過構(gòu)造函數(shù)、數(shù)列、合數(shù)和圖形等，達(dá)到證明的目的，這種方法則叫構(gòu)造法。

1構(gòu)造函數(shù)法

例11：證明不等式：x1-2x ＜x2 （x≠0）

證明：設(shè)f（x）= x1-2x- x2 （x≠0）

∵f (-x)

=-x1-2-x+x2x-2x2x-1+x2

=x1-2x- ［1-(1-2x)］+x2=x1-2x-x+x2

=f（x）

∴f（x）的圖像表示y軸對稱

∵當(dāng)x＞0時，1-2x＜0 ，故f（x）＜0

∴當(dāng)x＜0時，據(jù)圖像的對稱性知f（x）＜0

∴當(dāng)x≠0時，恒有f（x）＜0 即x1-2x＜x2（x≠0）

練習(xí)9：已知a＞b，2b＞a+c，求證：b- b2-ab＜a＜b+b2-ab

2構(gòu)造圖形法

例12：若f（x）=1+x2 ，a≠b，則|f（x）-f（b）|＜ |a-b|

分析：由1+x2 的結(jié)構(gòu)可知這是直角坐標(biāo)平面上兩點A(1，x)，0(0，0)的距離即 1+x2 =(1-0)2+(x-0)2

于設(shè)A(1，a)，B(1，b)則0A= 1+a2

絕對值三角不等式定理證明過程，求解析

原式兩邊平方開根號 整理得 √<x^2+y^2+(-2|x||y|)>≤√<x^2+y^2+（±2xy）>≤√<x^2+y^2+(2|x||y|)> 要證不等號成立 即證 -2|x||y|≤±2xy≤2|x||y| 易知上不等式成立 所以原不等式也成立。

個實數(shù)的絕對值的幾何意義為:在數(shù)軸上表示這個數(shù)的點與原點之間的距離。正數(shù)的絕對值等于它本身, 0的絕對值還是0, 負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，對于|a|，當(dāng)a>0時，|a|=a，距離為正，此時表示a的點在原點右側(cè)；當(dāng)a=0時，|a|=0，距離為0，此時表示a的點即為原點。

當(dāng)a<0時，|a|=-a，距離為負(fù)，此時表示a的點在原點左側(cè)。

舉例：|-2.5|指在數(shù)軸上-2.5與原點的距離，這個距離是2.5，所以-2.5的絕對值是-2.5。同樣，指在數(shù)軸上表示2與原點的距離，這個距離是2，所以2的絕對值是2。

高中數(shù)學(xué)代數(shù)不等式證明例題

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