為什么正交變換可逆 求可逆變換矩陣用不用正交化
為什么正交變換存在可逆性仍能進行數(shù)據(jù)還原?可逆線性變換與正交變換有什么關(guān)系?什么叫正交變換?為什么要正交變換?可逆變換和正交變換的區(qū)別啊,證明:正交變換為什么在任何基下的矩陣可逆?可逆線性變換和正交變換的區(qū)別是什么?
本文導航
變換矩陣為什么要正交化
因為是不好的
第三題??
正交變換和對稱變換怎么判斷
矩陣的相似和合同
????,1矩陣的相似, 設為階矩陣!若存在可逆矩陣使!則與相似。 APPAP!BBnA、B
????相似的性質(zhì)(相似的必要條件),若,則 AB~
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????(3)即有相同的特征值( (4) 。 ((EAEB,!,ab!::iiii
????T矩陣的合同,和為兩個階對稱矩陣,若存在階可逆矩陣使!則稱與合同。 ABABnnCCAC!B
????1;)11;);)T~? 例如,則有!顯然兩矩陣合同特征值未必相同?CACB!ABC?。?!,,,1~?~?~?41?,?,?,2
(1) 線性代數(shù)中的變換涉及到初等變換,相似變換,正交變換,合同變換,這些變換都是可逆的,其中正交變換即是相似變換又是合同變換. 普通坐標的線性變換不一定是可逆的(要看坐標變換的矩陣是否可逆);
(2) 微分算子法數(shù)學二并不要求(數(shù)學一也不必掌握), 此方程是二階常系數(shù)線性非齊次微分方程,按照常規(guī)方法很容易可以求解, 其中特征根為i, -i, 特解為 -x, 因此通解為 y = c_1 cosx + c_2 sinx -x;
(3) 你的題目估計有問題. 圓的方程可能出錯了, 否則若按照極坐標的思想, 圓心不在直線 y = x 上. 此題我的判斷是圓心在直線 y=x 上. 有兩種選擇: (i) 可使用型心坐標公式(稍微麻煩); (ii) 使用廣義形式是極坐標變換: x - x_0 = rcos\theta; y-y_0= rsin\theta, \theta的范圍為 \pi/4 到 \pi 3/4, r的范圍為 0 到圓的半徑.
判斷正交變換的方法
在線性代數(shù)中,正交變換是線性變換的一種,它從實內(nèi)積空間V映射到V自身,且保證變換前后內(nèi)積不變。
原因:
因為向量的模長與夾角都是用內(nèi)積定義的,所以正交變換前后一對向量各自的模長和它們的夾角都不變。特別地,標準正交基經(jīng)正交變換后仍為標準正交基。
在有限維空間中,正交變換在標準正交基下的矩陣表示為正交矩陣,其所有行和所有列也都各自構(gòu)成V的一組標準正交基。因為正交矩陣的行列式只可能為+1或?1,故正交變換的行列式為+1或?1。
行列式為+1和?1的正交變換分別稱為第一類的(對應旋轉(zhuǎn)變換)和第二類的(對應瑕旋轉(zhuǎn)變換)。可見,歐幾里得空間中的正交變換只包含旋轉(zhuǎn)、反射及它們的組合(即瑕旋轉(zhuǎn))。
擴展資料正交變換的性質(zhì):
1、正交變換不會改變向量間的正交性,如果;;和;;正交,則;;和;;亦為正交。
2、如果;和皆為正交矩陣,則; 亦為正交矩陣。
3、如果為正交矩陣,;;的反矩陣;;亦為正交矩陣。
4、正交變換容易做反運算。
5、對于正交變換,如果;;和;;可以做內(nèi)積,;;和;;做內(nèi)積之值等于;;和;;做內(nèi)積之值。
參考資料:百度百科-正交變換
正交變換一定要用正交單位矩陣嗎
(1)
線性代數(shù)中的變換涉及到初等變換,相似變換,正交變換,合同變換,這些變換都是可逆的,其中正交變換即是相似變換又是合同變換.
普通坐標的線性變換不一定是可逆的(要看坐標變換的矩陣是否可逆);(2)
微分算子法數(shù)學二并不要求(數(shù)學一也不必掌握),
此方程是二階常系數(shù)線性非齊次微分方程,按照常規(guī)方法很容易可以求解,
其中特征根為i,
-i,
特解為
-x,
因此通解為
y
=
c_1
cosx
+
c_2
sinx
-x;(3)
你的題目估計有問題.
圓的方程可能出錯了,
否則若按照極坐標的思想,
圓心不在直線
y
=
x
上.
此題我的判斷是圓心在直線
y=x
上.
有兩種選擇:
(i)
可使用型心坐標公式(稍微麻煩);
(ii)
使用廣義形式是極坐標變換:
x
-
x_0
=
rcos\theta;
y-y_0=
rsin\theta,
\theta的范圍為
\pi/4
到
\pi
3/4,
r的范圍為
0
到圓的半徑.
求可逆變換矩陣用不用正交化
對于線性空間VN,任取一組基X=(x1,x2,x3...xn)
同時一定存在一組標準正交基E=(e1,e2,e3...en)
且兩者間存在C使得X=EC,且由于XE都是VN的基故detC≠0
考慮正交變換T,T(E)=EA,根據(jù)定理,A一定是正交矩陣即detA≠0
對于任意的基X,T(X)=XB,有T(X)=T(EC)=T(E)C=EAC=XB=ECB
故B=C-1AC,由于AC都是滿秩行列式不為0,B必然也滿秩detB≠0
所以B可逆,即任意基下矩陣可逆
線性變換可逆的條件
可逆線性變換和正交變換沒有區(qū)別。當然標準型要求更高一些,變?yōu)闃藴市偷倪^程稱為正交變換,感覺正交變換算是非退化的線性替換的一種特殊情況。
在線性代數(shù)中,正交變換是線性變換的一種,它從實內(nèi)積空間V映射到V自身,且保證變換前后內(nèi)積不變。因為向量的模長與夾角都是用內(nèi)積定義的,所以正交變換前后一對向量各自的模長和它們的夾角都不變。
注意事項
設A是n維歐氏空間V的一個正交變換σ在一組標準正交基下的矩陣。
若丨A丨=1,則稱σ為第一類正交變換,包括空間內(nèi)的平移、旋轉(zhuǎn)以及二者的復合。
若丨A丨=-1,則稱σ為第二類正交變換,包括空間內(nèi)的反射以及反射變換與第一類正交變換的復合。
第一類正交變換不改變直角坐標系的定向,即左(右)手系變換后仍是左(右)手系。
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