二次型怎么化規(guī)范 如何由矩陣求二次型的規(guī)范性

如何將二次型f的標(biāo)準(zhǔn)形化為規(guī)范形？二次型化標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形的區(qū)別和解答方法，線(xiàn)性代數(shù)，這個(gè)二次型能化為規(guī)范型嗎？怎么化？線(xiàn)性代數(shù)，二次型配方法化為規(guī)范型，如何由矩陣求二次型的規(guī)范性？

本文導(dǎo)航

• 如何將二次型f的標(biāo)準(zhǔn)形化為規(guī)范形
• 二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型的幾個(gè)方法
• 線(xiàn)性代數(shù)，這個(gè)二次型能化為規(guī)范型嗎？怎么化？
• 線(xiàn)性代數(shù)，二次型配方法化為規(guī)范型？
• 如何由矩陣求二次型的規(guī)范性

如何將二次型f的標(biāo)準(zhǔn)形化為規(guī)范形

就是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)把系數(shù)化成1. 如

f = 2x1^2 - 3x2^2

令 y1= √2x1, y2=√3x2

則有 f =y1^2 - y2^2

二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型的幾個(gè)方法

標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形的區(qū)別

規(guī)范形中平方項(xiàng)的系數(shù)都是 1 或 -1

由標(biāo)準(zhǔn)形到規(guī)范形, 只需將標(biāo)準(zhǔn)型中平方項(xiàng)的正系數(shù)改為 1, 負(fù)系數(shù)改為 -1

正系數(shù)項(xiàng)放在前 即可.

線(xiàn)性代數(shù)，這個(gè)二次型能化為規(guī)范型嗎？怎么化？

任何二次型都可以化成規(guī)范型

只需要在標(biāo)準(zhǔn)型的基礎(chǔ)上

再做非奇異變換

將平方項(xiàng)的系數(shù)變?yōu)?或-1就可以了

方法如下：

這題的變化如下：

擴(kuò)展資料：

線(xiàn)性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它的研究對(duì)象是向量，向量空間（或稱(chēng)線(xiàn)性空間），線(xiàn)性變換和有限維的線(xiàn)性方程組。向量空間是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要課題；因而，線(xiàn)性代數(shù)被廣泛地應(yīng)用于抽象代數(shù)和泛函分析中；通過(guò)解析幾何，線(xiàn)性代數(shù)得以被具體表示。

線(xiàn)性代數(shù)的理論已被泛化為算子理論。由于科學(xué)研究中的非線(xiàn)性模型通常可以被近似為線(xiàn)性模型，使得線(xiàn)性代數(shù)被廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中。

線(xiàn)性（linear）指量與量之間按比例、成直線(xiàn)的關(guān)系，在數(shù)學(xué)上可以理解為一階導(dǎo)數(shù)為常數(shù)的函數(shù)。

非線(xiàn)性（non-linear）則指不按比例、不成直線(xiàn)的關(guān)系，一階導(dǎo)數(shù)不為常數(shù)。

線(xiàn)性代數(shù)起源于對(duì)二維和三維直角坐標(biāo)系的研究。在這里，一個(gè)向量是一個(gè)有方向的線(xiàn)段，由長(zhǎng)度和方向同時(shí)表示。這樣向量可以用來(lái)表示物理量，比如力，也可以和標(biāo)量做加法和乘法。這就是實(shí)數(shù)向量空間的第一個(gè)例子。

·每一個(gè)線(xiàn)性空間都有一個(gè)基。

·對(duì)一個(gè);n;行;n;列的非零矩陣;A，如果存在一個(gè)矩陣;B;使;AB;=;BA;=E（E是單位矩陣），則;A;為非奇異矩陣（或稱(chēng)可逆矩陣），B為A的逆陣。

·矩陣非奇異（可逆）當(dāng)且僅當(dāng)它的行列式不為零。

·矩陣非奇異當(dāng)且僅當(dāng)它代表的線(xiàn)性變換是個(gè)自同構(gòu)。

·矩陣半正定當(dāng)且僅當(dāng)它的每個(gè)特征值大于或等于零。

·矩陣正定當(dāng)且僅當(dāng)它的每個(gè)特征值都大于零。

·解線(xiàn)性方程組的克拉默法則。

·判斷線(xiàn)性方程組有無(wú)非零實(shí)根的增廣矩陣和系數(shù)矩陣的關(guān)系。

參考資料：百度百科-線(xiàn)性代數(shù)

線(xiàn)性代數(shù)，二次型配方法化為規(guī)范型？

1、是的，一般是先化為標(biāo)準(zhǔn)型；

如果題目不指明用什么變換, 一般情況配方法比較簡(jiǎn)單；

若題目指明用正交變換, 就只能通過(guò)特征值特征向量了；

2、已知標(biāo)準(zhǔn)形后, 平方項(xiàng)的系數(shù)的正負(fù)個(gè)數(shù)即正負(fù)慣性指數(shù)；

配方法得到的標(biāo)準(zhǔn)形, 系數(shù)不一定是特征值。

例題中平方項(xiàng)的系數(shù) -2,3,4, 兩正一負(fù), 故正負(fù)慣性指數(shù)分別為2, 1；

所以規(guī)范型中平方項(xiàng)的系數(shù)為 1,1,-1 (兩正一負(fù))。

3、有的二次型可以直接化為規(guī)范形，可省去化標(biāo)準(zhǔn)形的過(guò)程，比如f(x,y,z)=5x^2+2xy+y^2-4z^2，配方4x^2+(x+y)^2-4z^2。若令u=x,v=x+y,w=z，即x=u,y=u-v,z=w，則f=4u^2+v^2-4w^2，這是標(biāo)準(zhǔn)形。如果令u=2x,v=x+y,w=2z，則直接得規(guī)范形f=u^2+v^2-w^2。

擴(kuò)展資料：

線(xiàn)性代數(shù)是代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，主要處理線(xiàn)性關(guān)系問(wèn)題。線(xiàn)性關(guān)系意即數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系是以一次形式來(lái)表達(dá)的。

例如，在解析幾何里，平面上直線(xiàn)的方程是二元一次方程；空間平面的方程是三元一次方程，而空間直線(xiàn)視為兩個(gè)平面相交，由兩個(gè)三元一次方程所組成的方程組來(lái)表示。

含有n個(gè)未知量的一次方程稱(chēng)為線(xiàn)性方程。關(guān)于變量是一次的函數(shù)稱(chēng)為線(xiàn)性函數(shù)。線(xiàn)性關(guān)系問(wèn)題簡(jiǎn)稱(chēng)線(xiàn)性問(wèn)題。解線(xiàn)性方程組的問(wèn)題是最簡(jiǎn)單的線(xiàn)性問(wèn)題。

如何由矩陣求二次型的規(guī)范性

1、是的，一般是先化為標(biāo)準(zhǔn)型；

如果題目不指明用什么變換，一般情況配方法比較簡(jiǎn)單；

若題目指明用正交變換，就只能通過(guò)特征值特征向量了；

2、已知標(biāo)準(zhǔn)形后, 平方項(xiàng)的系數(shù)的正負(fù)個(gè)數(shù)即正負(fù)慣性指數(shù)；

通過(guò)匹配法得到的標(biāo)準(zhǔn)形式，其系數(shù)不一定是特征值。

例中，平方項(xiàng)的系數(shù)為－2，3，4，兩個(gè)正的，一個(gè)負(fù)的，所以正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)分別為2，1；所以標(biāo)準(zhǔn)形式的平方項(xiàng)系數(shù)是11－1（2＋1－）。

3、有的二次型可以直接化為規(guī)范形，可省去化標(biāo)準(zhǔn)形的過(guò)程，比如f(x,y,z)=5x^2+2xy+y^2-4z^2，配方4x^2+(x+y)^2-4z^2。若令u=x,v=x+y,w=z，即x=u,y=u-v,z=w，則f=4u^2+v^2-4w^2，這是標(biāo)準(zhǔn)形。如果令u=2x,v=x+y,w=2z，則直接得規(guī)范形f=u^2+v^2-w^2。

擴(kuò)展資料：

線(xiàn)性代數(shù)是處理線(xiàn)性關(guān)系問(wèn)題的代數(shù)的一個(gè)分支。線(xiàn)性關(guān)系是指數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系用一種一次性的形式來(lái)表示。

例如，在解析幾何中，平面上直線(xiàn)的方程是二元的一階方程；空間平面的方程是一個(gè)三元方程，而空間直線(xiàn)則是兩個(gè)相交的平面，用兩個(gè)三元方程組成的方程來(lái)表示。

n個(gè)未知數(shù)的線(xiàn)性方程叫做線(xiàn)性方程。變量的函數(shù)是線(xiàn)性函數(shù)。線(xiàn)性關(guān)系問(wèn)題稱(chēng)為線(xiàn)性問(wèn)題。解線(xiàn)性方程組的問(wèn)題是最簡(jiǎn)單的線(xiàn)性問(wèn)題。

參考資料來(lái)源：百度百科-線(xiàn)性代數(shù)